1. **بيان المسألة:** لدينا العبارة $$z = x(3x + 20) + 25$$ ونريد إثبات أنها تساوي $$z = (3x + 5)^2 - (6x^2 + 10x)$$ ثم تحليل العبارة إلى جداء عاملين، وحساب القيمة الفعلية للعبارة عند $$x = 1 + \sqrt{3}$$ وأخيرًا حل المعادلة $$z = 20x - 2$$. 2. **إثبات التساوي:** نبدأ بتوسيع الطرف الأيمن: $$ (3x + 5)^2 - (6x^2 + 10x) = (9x^2 + 30x + 25) - (6x^2 + 10x) = 9x^2 + 30x + 25 - 6x^2 - 10x = 3x^2 + 20x + 25 $$ الطرف الأيسر: $$ x(3x + 20) + 25 = 3x^2 + 20x + 25 $$ إذاً الطرفان متساويان. 3. **تحليل العبارة إلى جداء عاملين:** العبارة هي: $$z = 3x^2 + 20x + 25$$ نبحث عن عوامل للمعامل 3 والعدد 25 بحيث يكون مجموعهم 20. نستخدم طريقة التحليل: $$3x^2 + 20x + 25 = 3x^2 + 15x + 5x + 25 = 3x(x + 5) + 5(x + 5) = (3x + 5)(x + 5)$$ 4. **حساب القيمة الفعلية للعبارة عند $$x = 1 + \sqrt{3}$$:** نستخدم العبارة المحللة: $$z = (3x + 5)(x + 5)$$ نحسب كل جزء: $$3x + 5 = 3(1 + \sqrt{3}) + 5 = 3 + 3\sqrt{3} + 5 = 8 + 3\sqrt{3}$$ $$x + 5 = (1 + \sqrt{3}) + 5 = 6 + \sqrt{3}$$ إذاً: $$z = (8 + 3\sqrt{3})(6 + \sqrt{3}) = 8 \times 6 + 8 \times \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \times 6 + 3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 48 + 8\sqrt{3} + 18\sqrt{3} + 3 \times 3 = 48 + 26\sqrt{3} + 9 = 57 + 26\sqrt{3}$$ 5. **حل المعادلة $$z = 20x - 2$$:** نعوض عن $$z$$ بالعبارة المحللة: $$(3x + 5)(x + 5) = 20x - 2$$ نوسع الطرف الأيسر: $$3x^2 + 15x + 5x + 25 = 20x - 2$$ $$3x^2 + 20x + 25 = 20x - 2$$ نطرح $$20x$$ من الطرفين: $$3x^2 + 25 = -2$$ نطرح 25 من الطرفين: $$3x^2 = -27$$ نقسم على 3: $$x^2 = -9$$ لا توجد حلول حقيقية لأن $$x^2$$ لا يمكن أن يكون سالبًا. **النتيجة:** - العبارة صحيحة. - التحليل: $$z = (3x + 5)(x + 5)$$ - القيمة عند $$x = 1 + \sqrt{3}$$ هي $$57 + 26\sqrt{3}$$ - المعادلة ليس لها حلول حقيقية.