1. **بيان المسألة:** نحن ندرس الدالة $$f(x) = \frac{x^2 - 2x^2 - x + 2}{(x-1)^2}$$ معرفة على المجال $$[-1,4]$$. 2. **تبسيط الدالة:** نبدأ بتبسيط البسط: $$x^2 - 2x^2 - x + 2 = -x^2 - x + 2$$ إذًا: $$f(x) = \frac{-x^2 - x + 2}{(x-1)^2}$$ 3. **تحديد المجال:** الدالة معرفة حيث المقام لا يساوي صفرًا، أي حيث $$x \neq 1$$. 4. **حساب النهايات عند الحدود:** - عند $$x \to 1^+$$ و $$x \to 1^-$$ نحسب: $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{-x^2 - x + 2}{(x-1)^2}$$ البسط عند $$x=1$$: $$-(1)^2 - 1 + 2 = -1 -1 + 2 = 0$$ المقام يقترب من صفر موجب (لأن مربع)، إذًا النهايات قد تكون لا نهائية. 5. **حساب المشتقة $$f'(x)$$:** باستخدام قاعدة المشتقة للدالة الكسرية: $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$ حيث $$u(x) = -x^2 - x + 2$$ $$v(x) = (x-1)^2$$ المشتقات: $$u'(x) = -2x -1$$ $$v'(x) = 2(x-1)$$ المشتقة: $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{(-2x -1)(x-1)^2 - (-x^2 - x + 2)2(x-1)}{(x-1)^4}$$ 6. **تبسيط البسط:** نوزع ونبسط: $$(-2x -1)(x-1)^2 = (-2x -1)(x^2 - 2x +1)$$ $$= (-2x)(x^2 - 2x +1) - 1(x^2 - 2x +1) = -2x^3 +4x^2 -2x - x^2 + 2x -1 = -2x^3 + 3x^2 -1$$ والجزء الثاني: $$-(-x^2 - x + 2)2(x-1) = (x^2 + x - 2)2(x-1) = 2(x^2 + x - 2)(x-1)$$ نوسع: $$(x^2 + x - 2)(x-1) = x^3 - x^2 + x^2 - x - 2x + 2 = x^3 - x - 2x + 2 = x^3 - 3x + 2$$ إذا: $$2(x^3 - 3x + 2) = 2x^3 - 6x + 4$$ 7. **البسط النهائي للمشتقة:** $$-2x^3 + 3x^2 -1 + 2x^3 - 6x + 4 = 3x^2 - 6x + 3$$ 8. **المشتقة المبسطة:** $$f'(x) = \frac{3x^2 - 6x + 3}{(x-1)^4} = \frac{3(x^2 - 2x + 1)}{(x-1)^4} = \frac{3(x-1)^2}{(x-1)^4}$$ نختصر: $$f'(x) = \frac{3}{(x-1)^2}$$ 9. **تحليل إشارة المشتقة:** - المقام مربع دائمًا موجب ما عدا عند $$x=1$$ حيث الدالة غير معرفة. - البسط موجب (3). - إذًا $$f'(x) > 0$$ لكل $$x \neq 1$$. 10. **استنتاج:** الدالة متزايدة على كل فترات تعريفها. 11. **حل المعادلة $$f'(x) = 0$$:** $$\frac{3}{(x-1)^2} = 0$$ لا يوجد حل لأن البسط 3 لا يساوي صفرًا. 12. **النهايات عند $$x = -1$$ و $$x = 4$$:** - عند $$x = -1$$: $$f(-1) = \frac{-(-1)^2 - (-1) + 2}{(-1 - 1)^2} = \frac{-1 + 1 + 2}{(-2)^2} = \frac{2}{4} = 0.5$$ - عند $$x = 4$$: $$f(4) = \frac{-(4)^2 - 4 + 2}{(4-1)^2} = \frac{-16 - 4 + 2}{3^2} = \frac{-18}{9} = -2$$ 13. **النتيجة النهائية:** - الدالة معرفة على $$[-1,4]$$ ما عدا عند $$x=1$$. - الدالة متزايدة على كل فترات تعريفها. - لا توجد نقاط حرجة حيث $$f'(x) = 0$$. - القيم عند حدود المجال هي $$f(-1) = 0.5$$ و $$f(4) = -2$$.