تصنيف و تحليل

1. **التمرين الأول: تصنيف الأعداد** - A = $\frac{\sqrt{48} - 4\pi}{2\pi - \sqrt{12^7}}$ - نبدأ بتبسيط الجذور والأسس: $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ و $\sqrt{12^7} = 12^{3.5} = 12^3 \times \sqrt{12} = 1728 \times 3.464$ تقريباً. - الأعداد التي تحتوي على $\pi$ هي أعداد غير جذرية ولا عددية صحيحة، إذن A عدد غير نسبي (عدد حقيقي غير جذري). - B = $\frac{(-4)^3 \times (-6)^4 \times 2^5 \times (-27)^{-2}}{(-9)^3 \times 58^8 \times (-18)^4}$ - نحسب القوى: $(-4)^3 = -64$ $(-6)^4 = 1296$ $2^5 = 32$ $(-27)^{-2} = \frac{1}{(-27)^2} = \frac{1}{729}$ $(-9)^3 = -729$ $58^8$ عدد كبير جداً $(-18)^4 = 104976$ - نضرب البسط: $-64 \times 1296 \times 32 \times \frac{1}{729} = -3648$ - المقام كبير جداً، إذن B عدد حقيقي كسري. - C = 12.56 - عدد عشري محدود، عدد نسبي. - D = $\sqrt{17^2} - 17^3 - 68 = 17 - 4913 - 68 = -4964$ - عدد صحيح. - E = $\frac{\sqrt{4^{10}} + 2^3}{16^8}$ - $\sqrt{4^{10}} = 4^5 = 1024$ - $2^3 = 8$ - البسط = 1024 + 8 = 1032 - $16^8 = (2^4)^8 = 2^{32} = 4294967296$ - إذن E عدد كسري صغير جداً. - F = $\frac{(x + 5)(y - 3) - xy - 5y}{x + y}$ حيث $y = x^2$ - نوسع البسط: $(x+5)(y-3) = xy - 3x + 5y - 15$ البسط = $xy - 3x + 5y - 15 - xy - 5y = -3x - 15 = -3(x + 5)$ - المقام = $x + y = x + x^2$ - إذن $F = \frac{-3(x+5)}{x + x^2} = \frac{-3(x+5)}{x(1+x)}$ - هذا تعبير دالي على $\mathbb{R}$ باستثناء حيث المقام صفر. 2. **التمرين الثاني:** - معطى: $a=280$, $b=1386$ 1- تحليل العددين إلى عوامل أولية: - $280 = 2^3 \times 5 \times 7$ - $1386 = 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 3$ (نصحح: 1386 ÷ 2 = 693; 693 ÷ 3 = 231; 231 ÷ 3 = 77; 77 ÷ 7 = 11; 11 ÷ 11 = 1) - إذن $1386 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 11$ 2- كتابة الكسر $\frac{a}{b}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال: - القاسم المشترك الأكبر (PGCD) = $2 \times 7 = 14$ - نقسم البسط والمقام على 14: $\frac{280}{1386} = \frac{20}{99}$ - الكسر $\frac{20}{99}$ غير قابل للاختزال. 3- تحقق أن $\frac{a}{PGCD(a,b)}$ و $\frac{b}{PGCD(a,b)}$ أوليان: - $\frac{a}{14} = 20$ - $\frac{b}{14} = 99$ - 20 و 99 ليس لهما قواسم مشتركة غير 1، إذن أوليان. 4- حساب $PPCM(a,b)$ (أصغر مضاعف مشترك): - $PPCM(a,b) = \frac{a \times b}{PGCD(a,b)} = \frac{280 \times 1386}{14} = 27720$ 5- حساب الفرق: $$\frac{17}{1386} - \frac{23}{280} = \frac{17 \times 280 - 23 \times 1386}{1386 \times 280} = \frac{4760 - 31878}{388080} = \frac{-27118}{388080}$$ 6- تحقق من: $$PPCM(a,b) \times PGCD(a,b) = a \times b$$ - $27720 \times 14 = 388080$ - $280 \times 1386 = 388080$ - المعادلة صحيحة. 7- إيجاد أصغر عدد طبيعي $n$ بحيث يكون $n \times a$ مربعاً كاملاً: - تحليل $a=280 = 2^3 \times 5 \times 7$ - لجعل $n \times a$ مربعاً كاملاً، يجب أن تكون أسس العوامل الزوجية. - الأسس الحالية: 2 (3), 5 (1), 7 (1) - نحتاج إلى رفع 2 إلى 4 (نضيف 1)، 5 إلى 2 (نضيف 1)، 7 إلى 2 (نضيف 1) - إذن $n = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 = 70$ **الجواب النهائي:** - التمرين الأول: تصنيف الأعداد حسب نوعها - التمرين الثاني: تحليل الأعداد، تبسيط الكسور، حساب PGCD و PPCM، التحقق من العلاقات، وحساب الفرق، وإيجاد $n=70$.