1. المشكلة: حل معادلة باستخدام التعويضات المثلثية. 2. القاعدة الأساسية: التعويضات المثلثية تستخدم لتحويل تعبيرات تحتوي على جذور أو تعبيرات معقدة إلى تعبيرات مثلثية أبسط. 3. مثال شائع: إذا كان لدينا تعبير مثل $\sqrt{1-x^2}$، يمكننا التعويض بـ $x = \sin(\theta)$ لأن $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$، وبالتالي $\sqrt{1-x^2} = \cos(\theta)$. 4. خطوات الحل: - نحدد التعويض المناسب بناءً على التعبير. - نستبدل المتغيرات بالتعويض. - نبسط التعبير باستخدام علاقات المثلثات الأساسية. - نحل المعادلة بالنسبة للمتغير الجديد. - نرجع إلى المتغير الأصلي باستخدام التعويض العكسي. 5. مثال تطبيقي: حل المعادلة $\sqrt{1-x^2} = x$. - نضع $x = \sin(\theta)$. - إذن $\sqrt{1-x^2} = \cos(\theta)$. - المعادلة تصبح $\cos(\theta) = \sin(\theta)$. - نستخدم العلاقة $\tan(\theta) = 1$. - إذن $\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi$, حيث $k$ عدد صحيح. - نرجع إلى $x$: $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right)$. - القيم الممكنة لـ $x$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و$-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 6. الخلاصة: التعويضات المثلثية تساعد في تبسيط وحل المعادلات التي تحتوي على جذور أو تعبيرات مربعة بطريقة منهجية وسهلة الفهم.