تقارب دالة

1. **نص المشكلة:** نريد إيجاد خطوط التقارب الأفقية والرأسية للدالة $$f(x) = \frac{1 - x}{x^2 + x - 2}$$. 2. **إيجاد خطوط التقارب الرأسية:** خطوط التقارب الرأسية تحدث عندما يكون مقام الدالة صفرًا ولا يكون البسط صفرًا في نفس النقطة. 3. **تحليل المقام:** المقام هو $$x^2 + x - 2$$. 4. **تحليل المقام إلى عوامل:** $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$. 5. **إيجاد جذور المقام:** الجذور هي $$x = -2$$ و $$x = 1$$. 6. **التحقق من البسط عند هذه القيم:** البسط هو $$1 - x$$. عند $$x = -2$$: $$1 - (-2) = 3 \neq 0$$. عند $$x = 1$$: $$1 - 1 = 0$$. 7. **تفسير النتائج:** - عند $$x = -2$$، المقام صفر والبسط غير صفر، إذن هناك خط تقارب رأسي عند $$x = -2$$. - عند $$x = 1$$، المقام صفر والبسط صفر، يجب التحقق من وجود حد أو تبسيط. 8. **تبسيط الدالة عند $$x=1$$:** نلاحظ أن البسط والمقام كلاهما صفر عند $$x=1$$، لذا نحاول تبسيط: البسط: $$1 - x$$ المقام: $$(x + 2)(x - 1)$$ يمكننا كتابة: $$f(x) = \frac{1 - x}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{-(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{-1}{x + 2}, \quad x \neq 1$$ 9. **استنتاج:** الدالة تبسط إلى $$f(x) = \frac{-1}{x + 2}$$ عند $$x \neq 1$$، إذن لا يوجد خط تقارب رأسي عند $$x=1$$، بل هناك نقطة حذف (ثقب) عند $$x=1$$. 10. **إيجاد خط التقارب الأفقي:** نحسب النهاية عندما $$x \to \infty$$ و $$x \to -\infty$$: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{x^2 + x - 2}$$ نقسم البسط والمقام على $$x^2$$: $$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{x}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = \frac{0 - 0}{1 + 0 - 0} = 0$$ وبالمثل: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$ 11. **النتيجة النهائية:** - خط التقارب الرأسي الوحيد هو عند $$x = -2$$. - خط التقارب الأفقي هو $$y = 0$$.