حصريات وترتيب

1. نبدأ بحصر الأعداد المعطاة حيث $7 \leq x \leq 5$ و $8 \leq y \leq -4$. لاحظ أن هذا غير ممكن لأن $7 \leq x \leq 5$ تعني أن $x$ يجب أن يكون أكبر أو يساوي 7 وأصغر أو يساوي 5 في نفس الوقت، وهذا مستحيل. لذا نفترض أن هناك خطأ في المعطيات أو أن الحصر هو $5 \leq x \leq 7$ و $-4 \leq y \leq 8$.\n\n2. بحساب الحصر لكل تعبير: - $\frac{y-2x}{x}$: نستخدم الحصر المفترض $5 \leq x \leq 7$ و $-4 \leq y \leq 8$. الحد الأدنى: عندما يكون $y$ أصغر ما يمكن و $x$ أكبر ما يمكن، أي $\frac{-4 - 2\times7}{7} = \frac{-4 -14}{7} = \frac{-18}{7} \approx -2.57$. الحد الأقصى: عندما يكون $y$ أكبر ما يمكن و $x$ أصغر ما يمكن، أي $\frac{8 - 2\times5}{5} = \frac{8 -10}{5} = \frac{-2}{5} = -0.4$. إذن الحصر هو $[-2.57, -0.4]$.\n\n- $\frac{y}{x}$: الحد الأدنى: $\frac{-4}{7} \approx -0.57$. الحد الأقصى: $\frac{8}{5} = 1.6$. الحصر: $[-0.57, 1.6]$.\n\n- $x - y$: الحد الأدنى: أصغر $x$ ناقص أكبر $y$ أي $5 - 8 = -3$. الحد الأقصى: أكبر $x$ ناقص أصغر $y$ أي $7 - (-4) = 11$. الحصر: $[-3, 11]$.\n\n- $y^2$: $y$ بين $-4$ و $8$، أكبر قيمة تربيعية هي $8^2 = 64$. أصغر قيمة تربيعية هي $0$ إذا كان $y$ يمر بالصفر، لكن هنا $y$ بين $-4$ و $8$، إذن أصغر قيمة هي $0$ فقط إذا كان $y=0$ ضمن الحصر، وهو كذلك. الحصر: $[0, 64]$.\n\n- $x^2$: $x$ بين $5$ و $7$، إذن الحصر هو $[25, 49]$.\n\n- $x + y$: الحد الأدنى: أصغر $x$ + أصغر $y$ = $5 + (-4) = 1$. الحد الأقصى: أكبر $x$ + أكبر $y$ = $7 + 8 = 15$. الحصر: $[1, 15]$.\n\n3. الترتيب التصاعدي للأعداد التالية: $\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2022} \cdot \left(\frac{x-5}{2}\right)^{443}$ و $\left(\frac{x-5}{2}\right)^{111}$.\n\n- نستخدم قاعدة القوى: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ إذًا: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2022+443} = \left(\frac{x-5}{2}\right)^{2465}$$\n\n- الآن لدينا: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2465} \text{ و } \left(\frac{x-5}{2}\right)^{111}$$\n\n- بما أن الأسس موجبة والقاعدة $\frac{x-5}{2}$ حيث $x$ بين 5 و7، إذن $\frac{x-5}{2}$ بين 0 و1. - عندما يكون الأساس بين 0 و1، كلما زاد الأساس زادت القيمة، وكلما زاد الأس exponent نقصت القيمة. - إذن الترتيب التصاعدي هو: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2465} \leq \left(\frac{x-5}{2}\right)^{111}$$\n\n4. إذًا، الحصريات والترتيب هما: - الحصريات: - $\frac{y-2x}{x} \in [-2.57, -0.4]$ - $\frac{y}{x} \in [-0.57, 1.6]$ - $x - y \in [-3, 11]$ - $y^2 \in [0, 64]$ - $x^2 \in [25, 49]$ - $x + y \in [1, 15]$ - الترتيب التصاعدي: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2465} \leq \left(\frac{x-5}{2}\right)^{111}$$