حصر وترتيب

1. **بيان المسألة:** لدينا أعداد حقيقية $x$ و $y$ بحيث $7 \leq x \leq 5$ و $8 \leq y \leq -4$. نريد إيجاد حصر الأعداد التالية: $x + y$, $x - y$, $y^2 - x^2$, $\frac{y}{x}$، و $\frac{y - 2x}{x}$. ثم نرتب تصاعدياً الأعداد $\left(\frac{x-5}{2}\right)^{999}$، $\left(\frac{x-5}{2}\right)^{1463}$، و $\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2022}$. 2. **ملاحظة مهمة:** الشرط $7 \leq x \leq 5$ غير صحيح لأن 7 ليست أقل من أو تساوي 5، لذا نفترض أن هناك خطأ مطبعي ونعتبر $5 \leq x \leq 7$. ونفس الشيء لـ $y$ حيث $8 \leq y \leq -4$ غير منطقي، نفترض $-4 \leq y \leq 8$. 3. **حصر التعبيرات:** - $x + y$: أصغر قيمة عندما يكون $x=5$ و $y=-4$، أكبر قيمة عندما $x=7$ و $y=8$. $$\min(x+y) = 5 + (-4) = 1$$ $$\max(x+y) = 7 + 8 = 15$$ - $x - y$: أصغر قيمة عندما يكون $x=5$ و $y=8$، أكبر قيمة عندما $x=7$ و $y=-4$. $$\min(x-y) = 5 - 8 = -3$$ $$\max(x-y) = 7 - (-4) = 11$$ - $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$: نحسب الحصر عبر القيم الممكنة: أصغر قيمة ممكنة وأكبر قيمة ممكنة تعتمد على قيم $x$ و $y$ في النطاقات. نحسب القيم عند الأطراف: عند $x=5, y=-4$: $$y^2 - x^2 = (-4)^2 - 5^2 = 16 - 25 = -9$$ عند $x=5, y=8$: $$64 - 25 = 39$$ عند $x=7, y=-4$: $$16 - 49 = -33$$ عند $x=7, y=8$: $$64 - 49 = 15$$ إذاً الحصر هو: $$\min = -33, \max = 39$$ - $\frac{y}{x}$: نحسب الحصر مع $x \in [5,7]$, $y \in [-4,8]$. أصغر قيمة ممكنة: $$\min \frac{y}{x} = \min \left\{ \frac{-4}{7}, \frac{-4}{5}, \frac{8}{7}, \frac{8}{5} \right\} = \frac{-4}{7} \approx -0.571$$ أكبر قيمة ممكنة: $$\max \frac{y}{x} = \max \left\{ \frac{-4}{7}, \frac{-4}{5}, \frac{8}{7}, \frac{8}{5} \right\} = \frac{8}{5} = 1.6$$ - $\frac{y - 2x}{x} = \frac{y}{x} - 2$: نستخدم الحصر السابق لـ $\frac{y}{x}$ ونطرح 2: $$\min = -0.571 - 2 = -2.571$$ $$\max = 1.6 - 2 = -0.4$$ 4. **ترتيب تصاعدي للأعداد:** الأعداد هي: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{999}, \left(\frac{x-5}{2}\right)^{1463}, \left(\frac{x-5}{2}\right)^{2022}$$ بما أن $x \in [5,7]$، إذن $\frac{x-5}{2} \in [0,1]$. عندما الأساس بين 0 و1، القوى الأكبر أصغر. إذاً: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2022} \leq \left(\frac{x-5}{2}\right)^{1463} \leq \left(\frac{x-5}{2}\right)^{999}$$ **النتيجة النهائية:** - حصر الأعداد: $$x + y \in [1, 15]$$ $$x - y \in [-3, 11]$$ $$y^2 - x^2 \in [-33, 39]$$ $$\frac{y}{x} \in [-0.571, 1.6]$$ $$\frac{y - 2x}{x} \in [-2.571, -0.4]$$ - الترتيب التصاعدي: $$\left(\frac{x-5}{2}\right)^{2022} \leq \left(\frac{x-5}{2}\right)^{1463} \leq \left(\frac{x-5}{2}\right)^{999}$$