دالة تكعيبية

1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$y = f(x) = x^3 - 3x$$ ونريد إيجاد مجال الدالة، مدى الدالة، دراسة الإترداد (زوجية، فردية، أو غير ذلك)، ونقطة العاتق. 2. **مجال الدالة:** الدالة كثيرة حدود من الدرجة 3، وهي معرفة لجميع قيم $$x$$ الحقيقية، إذن: $$\text{مجال الدالة} = (-\infty, +\infty)$$ 3. **مدى الدالة:** نبحث عن قيم $$y$$ التي يمكن أن تأخذها الدالة. - نوجد المشتقة الأولى: $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$ - نقاط حرجة عند $$x = -1$$ و $$x = 1$$. - نحسب قيم الدالة عند هذه النقاط: $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$ $$f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$$ - بما أن الدالة كثيرة حدود من الدرجة 3، فإنها تذهب إلى $$+\infty$$ عندما $$x \to +\infty$$ وإلى $$-\infty$$ عندما $$x \to -\infty$$. - إذن المدى هو: $$\text{مدى الدالة} = (-\infty, +\infty)$$ 4. **الإترداد (زوجية أو فردية):** - نتحقق من $$f(-x)$$: $$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$$ - إذن الدالة فردية. 5. **نقطة العاتق:** هي النقطة التي تتغير عندها الدالة من زيادة إلى نقصان أو العكس، وهي النقاط الحرجة التي وجدناها: - عند $$x = -1$$، القيمة $$f(-1) = 2$$ - عند $$x = 1$$، القيمة $$f(1) = -2$$ - نحدد نوع العاتق: - عند $$x = -1$$، المشتقة الثانية: $$f''(x) = 6x$$ $$f''(-1) = -6 < 0$$، إذن نقطة عاتق قصوى محلية. - عند $$x = 1$$، $$f''(1) = 6 > 0$$، إذن نقطة عاتق دنيا محلية. **النتيجة النهائية:** - مجال الدالة: $$(-\infty, +\infty)$$ - مدى الدالة: $$(-\infty, +\infty)$$ - الدالة فردية. - نقاط العاتق: $$(-1, 2)$$ (عظمى محلية) و $$(1, -2)$$ (صغرى محلية).