1. **بيان المسألة:** لدينا دالة عددية معرفة على \(\mathbb{R}\) \(f(x) = x^2 + ax + b\) حيث \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان، مع المعطيات \(f(-3) = 24\) و \(f(-2) = 15\). المطلوب: \(a = -4\) و \(b = 3\).
2. **حساب صورة العددين 4 و -1 بالدالة \(f\):**
\(f(4) = 4^2 + a \times 4 + b = 16 + 4a + b\)
\(f(-1) = (-1)^2 + a \times (-1) + b = 1 - a + b\)
باستبدال \(a = -4\) و \(b = 3\):
\(f(4) = 16 + 4 \times (-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\)
\(f(-1) = 1 - (-4) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8\)
3. **تعيين سوابق العدد 3 بالدالة \(f\):**
نريد \(x\) بحيث \(f(x) = 3\):
\(x^2 + ax + b = 3\)
\(x^2 - 4x + 3 = 3\) (باستبدال \(a\) و \(b\))
\(x^2 - 4x + 3 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0\)
نحل المعادلة:
\(x(x - 4) = 0\)
إذاً \(x = 0\) أو \(x = 4\).
4. **بناء الدالة \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\) و \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\):**
نثبت أن الدالتين متساويتان:
\((x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3\)
\((x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3\)
إذاً \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
5. **استنتاج سوابق العددين 0 و -1 بالدالة \(f\):**
\(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)
\(f(0) = (0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3\)
\(f(-1) = (-1 - 1)(-1 - 3) = (-2)(-4) = 8\)
6. **اتجاه نمو الدالة \(f\) على المجالين \([-2E2C;4]\) و \([2; +2E2C[\):**
- المشتقة \(f'(x) = 2x - 4\)
- على \([-2E2C;4]\):
\(f'(x) < 0\) إذا \(x < 2\) (الدالة تناقصية)
\(f'(x) > 0\) إذا \(x > 2\) (الدالة تزايدية)
- على \([2; +2E2C[\) الدالة تزايدية.
7. **جدول النمو:**
\(\begin{array}{c|ccc}
x & -2E2C & 2 & +2E2C \\
f'(x) & - & 0 & + \\
f(x) &
e ext{تناقص} & ext{صغرى عند } x=2 & ext{تزايد} \\
\end{array}\)
8. **القيمة الصغرى للدالة \(f\):**
\(f(2) = (2 - 1)(2 - 3) = 1 \times (-1) = -1\)
9. **إثبات أن الدالة \(f\) ليست زوجية ولا فردية:**
- \(f(-x) = (-x - 1)(-x - 3) = (-(x + 1))(-(x + 3)) = (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3\)
- \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
- \(f(-x) \neq f(x)\) (ليست زوجية)
- \(f(-x) \neq -f(x)\) (ليست فردية)
**النتيجة النهائية:**
- \(f(4) = 3\)
- \(f(-1) = 8\)
- سوابق العدد 3 هي \(x = 0\) و \(x = 4\)
- \(f(0) = 3\) و \(f(-1) = 8\)
- الدالة تناقصية على \((-2E2C, 2)\) وتزايدية على \((2, +2E2C)\)
- القيمة الصغرى \(f(2) = -1\)
- الدالة ليست زوجية ولا فردية.
دالة عددية Cf8A36
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.