1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $f$ معرفة ب $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. 2. **التحقق من مجال الدالة:** الدالة معرفة لكل $x$ حيث المقام لا يساوي صفرًا، أي $x \neq 1$. إذن، مجال الدالة هو $\mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[$. 3. **تحديد نهايات الدالة عند حدود المجال:** - عندما $x \to 1^-$، المقام يقترب من الصفر سالبًا، والبسط يقترب من $1^2 + 3 = 4$، إذن $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty.$$ - عندما $x \to 1^+$، المقام يقترب من الصفر موجبًا، والبسط يقترب من 4، إذن $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty.$$ - عندما $x \to +\infty$، نقسم البسط والمقام على $x$: $$f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \frac{x^2(1 + \frac{3}{x^2})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \frac{x(1 + \frac{3}{x^2})}{1 - \frac{1}{x}} \to +\infty.$$ - عندما $x \to -\infty$، نفس الطريقة تعطي $$f(x) \to -\infty.$$ 4. **تحديد المشروع الإحداثي (محاور التماثل):** - لا يوجد تقاطع مع المحور $y$ لأن $x=0$ في المجال. - تقاطع مع محور $x$ عندما يكون البسط صفرًا: $$x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3,$$ لا يوجد حلول حقيقية. إذن لا يوجد تقاطع مع محور $x$. 5. **إثبات أن مشتقة الدالة هي:** نستخدم قاعدة المشتقة للدالة الكسرية: $$f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}.$$ نحلل البسط: $$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3).$$ لكن المطلوب إثباته هو: $$f'(x) = \frac{(x + 2)(x - 4)}{(x - 1)^2}.$$ هناك اختلاف، لذا نعيد الحساب بدقة: $$f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$$ $$f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}.$$ تحليل البسط: $$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).$$ إذن المشتقة هي: $$f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}.$$ هذا يختلف عن المعطى، ربما هناك خطأ في المعطى أو في السؤال. 6. **الرسم البياني:** - منحنى الدالة $f$ هو دالة كسرية مع خط رأسي عند $x=1$. - المستقيم $\Delta$ معادلته $y = x + 1$. 7. **الرسم في م0 و م:** - م0: نقطة الأصل. - م: نقطة أخرى يمكن تحديدها حسب الحاجة. **الجواب النهائي:** - مجال الدالة هو $]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[$. - نهايات الدالة عند حدود المجال هي: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty,$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ - لا يوجد تقاطع مع المحاور. - المشتقة الصحيحة هي: $$f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}.$$