1. مسئله را بیان میکنیم: دامنه تابع
$$f(x) = \frac{x-1}{x-1-\frac{x-1}{x^{2}-4}}$$
چند عدد حقیقی را شامل نمیشود؟
2. ابتدا مخرج کسر را بررسی میکنیم. مخرج باید ناصفر باشد:
$$x-1-\frac{x-1}{x^{2}-4} \neq 0$$
3. مخرج را برابر صفر میگذاریم و حل میکنیم:
$$x-1 = \frac{x-1}{x^{2}-4}$$
ضرب طرفین در $$x^{2}-4$$ (که برابر با $$(x-2)(x+2)$$ است):
$$ (x-1)(x^{2}-4) = x-1$$
4. حال دو حالت داریم:
- اگر $$x-1=0$$، یعنی $$x=1$$
- یا اگر $$x-1 \neq 0$$، معادله را ساده میکنیم:
$$ (x-1)(x^{2}-4) = x-1 \implies x^{2}-4 = 1 $$
(چون $$x-1 \neq 0$$ بر طرفین بخش کردیم)
$$ x^{2} = 5 $$
$$ x = \pm\sqrt{5} $$
5. نکته مهم: مخرج کل نباید صفر باشد، پس نقاطی که مخرج صفر میشود محدودکننده دامنه هستند.
6. همچنین مخرجها و مخرج فرعیها نباید صفر شوند. مخرج فرعی:\
$$ x^{2}-4 = 0 \implies x = \pm 2 $$
این نقاط از تعریف تابع حذف میشوند.
7. جمع بندی نقاطی که دامنه شامل نمیشود:
- هنگامی که مخرج کل صفر شود: $$x=1, x=\sqrt{5}, x=-\sqrt{5}$$ (3 عدد)
- همچنین نقاطی که مخرج داخل کسر صفر است: $$x=2, x=-2$$ (2 عدد)
در کل: 5 عدد حقیقی در دامنه نگنجیدهاند.
نتیجه: تابع 5 عدد حقیقی را شامل نمیشود.
${\boxed{5}}$
دامنه کسر
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.