1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ معرفة على المجال $$\mathbb{R} \setminus \{-1\}$$ ونريد دراسة نهاياتها، مشتقتها، سلوكها، وحساب المساحات المحصورة بين منحنى الدالة ومستقيم معين. 2. **حساب نهايات الدالة عند حدود المجال:** - عند $$x \to -1^+$$ و $$x \to -1^-$$ ندرس سلوك الدالة حول النقطة الممنوعة. - عند $$x \to +\infty$$ و $$x \to -\infty$$ نحسب: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 2x + 1) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$$ 3. **حساب المشتقة $$f'(x)$$:** نحسب مشتقة الدالة: $$f'(x) = 2x - 2$$ لكن المطلوب إثبات أن: $$f'(x) = \frac{-(x-1)(x^4 + 4x + 7)}{(x+1)^2}$$ وهذا يشير إلى أن الدالة المعطاة في السؤال قد تكون مختلفة أو هناك خطأ في النص، لكن سنقبل المعطى ونستخدمه. 4. **دلالة $$f'(x)$$ وجدول التغيرات:** - ندرس إشارة $$f'(x)$$ حسب التعبير المعطى. - نلاحظ أن البسط يحتوي على عامل $$-(x-1)$$ وعبارة موجبة دائماً $$x^4 + 4x + 7 > 0$$. - المقام $$ (x+1)^2 > 0 $$ دائماً ما عدا عند $$x = -1$$ حيث الدالة غير معرفة. - إذن إشارة $$f'(x)$$ تعتمد على إشارة $$-(x-1)$$. - إذا $$x < 1$$ فإن $$f'(x) > 0$$ والعكس صحيح. 5. **حل المعادلة $$f'(x) = 0$$:** - المعادلة تساوي صفر عندما يكون البسط صفرًا: $$-(x-1)(x^4 + 4x + 7) = 0$$ - لأن $$x^4 + 4x + 7 > 0$$ دائماً، إذن: $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ - لكن المطلوب إثبات وجود حل $$\alpha$$ بين $$-2.5$$ و $$-2$$، وهذا يتناقض مع الحل السابق، ربما هناك خطأ في المعطيات. 6. **المستقيم $$D$$ ومعادلة $$y = \alpha x + \beta$$:** - المستقيم يقطع المنحنى عند نقطة مما يعني وجود نقطة تقاطع تحقق: $$f(x) = \alpha x + \beta$$ - إذا كان المستقيم مماساً للمنحنى عند نقطة، فإن: $$f'(x) = \alpha$$ عند تلك النقطة. 7. **حساب المساحة $$S(a)$$:** - المساحة المحصورة بين المنحنى والمستقيم بين نقطتين على محور $$x$$ تحسب بالتكامل: $$S = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - (\alpha x + \beta)| \, dx$$ - حسب المعطيات، نستخدم حدود التكامل $$x = 2$$ والنقطة الأخرى حسب التقاطع. 8. **التحقق من انتماء النقطتين $$A(-3,2)$$ و $$B(-2,2)$$ للمنحنى:** - نعوض في الدالة: $$f(-3) = (-3)^2 - 2(-3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16 \neq 2$$ - إذن النقطة $$A$$ ليست على المنحنى. - $$f(-2) = 4 + 4 + 1 = 9 \neq 2$$ - النقطة $$B$$ أيضاً ليست على المنحنى. 9. **حساب المساحة $$S$$ بين المنحنى والقطعة $$[AB]$$:** - بما أن النقطتين ليستا على المنحنى، لا يمكن حساب المساحة مباشرة بدون تعديل. **ملاحظة:** هناك تناقضات في المعطيات المقدمة (مثل المشتقة، النقاط على المنحنى)، لذا الحل تم تبسيطه بناءً على الدالة الأصلية $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ فقط. **النتيجة النهائية:** - مشتقة الدالة: $$f'(x) = 2x - 2$$ - نقطة حرجة عند $$x=1$$ - الدالة تزداد على $$]1, +\infty[$$ وتنقص على $$]-\infty, 1[$$ - نهايات الدالة عند $$\pm \infty$$ هي $$+\infty$$