1. نبدأ بحل التمرين 1، الدالة \( f(x) = 3x^2 + 2 + x \). 2. \textbf{مجموعة تعريف الدالة}: الدالة كثيرة حدود، معرفة لكل \( x \in \mathbb{R} \). 3. نحسب قيم الدالة عند النقاط المطلوبة: - \( f(0) = 3(0)^2 + 2 + 0 = 2 \) - \( f(1) = 3(1)^2 + 2 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 \) - \( f(2) = 3(2)^2 + 2 + 2 = 3 \times 4 + 2 + 2 = 12 + 4 = 16 \) - \( f(3) = 3(3)^2 + 2 + 3 = 3 \times 9 + 2 + 3 = 27 + 5 = 32 \) 4. لإثبات أن الدالة \( f \) مصغورة بالعدد 1، نقصد أن \( f(x) \geq 1 \) لكل \( x \). نلاحظ أن \( 3x^2 \geq 0 \) و \( 2 + x \) يمكن أن تكون أقل من 1 فقط إذا كان \( x \) صغيرًا جدًا، لكن مع \( 3x^2 \) الموجب، \( f(x) \) دائمًا أكبر من أو يساوي 1. 5. ننتقل إلى التمرين 2، الدالة \( P(x) = x^2 + 2x - 3 \). 6. نثبت أن \( P(1) = 0 \): \( P(1) = 1^2 + 2 \times 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \). 7. نحسب المميز \( \Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \). 8. حلول المعادلة \( P(x) = 0 \) هي: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \) - \( x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \) - \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) 9. جدول إشارة \( P(x) \): - \( P(x) > 0 \) عندما \( x < -3 \) أو \( x > 1 \) - \( P(x) < 0 \) عندما \( -3 < x < 1 \) 10. مجموعة حلول المتراجحة \( P(x) \geq 0 \) هي \( (-\infty, -3] \cup [1, +\infty) \). 11. حل النظام: \( \begin{cases} 4 = 5 \\ 3x - y = x + 2y \end{cases} \) - المعادلة الأولى غير صحيحة (4 لا تساوي 5)، النظام لا حل له. النتائج النهائية: - \( f(0) = 2, f(1) = 6, f(2) = 16, f(3) = 32 \) - \( P(x) = 0 \) حلولها \( x = -3, 1 \) - مجموعة حلول \( P(x) \geq 0 \) هي \( (-\infty, -3] \cup [1, +\infty) \) - النظام المعطى لا حل له.