ریشه معادله

1. مسئله: معادله $$2 + ax + bx^2 - x^3 = 0$$ داده شده است و گفته شده که $$x=2$$ یکی از ریشه‌های این معادله است. باید مقدار $$a$$ و ریشه‌های دیگر معادله را پیدا کنیم. 2. ابتدا معادله را به صورت استاندارد مرتب می‌کنیم: $$-x^3 + bx^2 + ax + 2 = 0$$ یا معادل: $$-x^3 + bx^2 + ax + 2 = 0$$ 3. چون $$x=2$$ ریشه معادله است، باید مقدار $$x=2$$ را در معادله قرار دهیم و معادله برقرار باشد: $$-(2)^3 + b(2)^2 + a(2) + 2 = 0$$ 4. محاسبه: $$-8 + 4b + 2a + 2 = 0$$ 5. ساده‌سازی: $$4b + 2a - 6 = 0$$ یا $$4b + 2a = 6$$ 6. معادله بالا رابطه بین $$a$$ و $$b$$ است. برای یافتن $$a$$ و $$b$$ به معادله دیگری نیاز داریم. چون معادله درجه سوم است و ضریب جمله $$x^3$$ برابر $$-1$$ است، می‌توانیم معادله را به صورت ضربی بنویسیم: $$-x^3 + bx^2 + ax + 2 = -(x^3 - bx^2 - ax - 2)$$ 7. فرض کنیم ریشه‌ها $$2$$، $$r_2$$ و $$r_3$$ باشند. طبق رابطه ضرایب و ریشه‌ها: - مجموع ریشه‌ها: $$2 + r_2 + r_3 = b$$ - مجموع حاصل‌ضرب دو به دو ریشه‌ها: $$2r_2 + 2r_3 + r_2 r_3 = a$$ - حاصل‌ضرب ریشه‌ها: $$2 imes r_2 imes r_3 = 2$$ 8. از معادله حاصل‌ضرب ریشه‌ها: $$2 r_2 r_3 = 2 \\ r_2 r_3 = 1$$ 9. حال معادله را به صورت ضربی بنویسیم: $$(x - 2)(x^2 - px + q) = 0$$ که $$p = r_2 + r_3$$ و $$q = r_2 r_3 = 1$$ 10. ضرب را انجام می‌دهیم: $$x^3 - px^2 + qx - 2x^2 + 2px - 2q = 0$$ $$x^3 - (p + 2)x^2 + (q + 2p)x - 2q = 0$$ 11. معادله اصلی به صورت استاندارد: $$x^3 - bx^2 - ax - 2 = 0$$ 12. مقایسه ضرایب: $$-b = -(p + 2) \\ b = p + 2$$ $$-a = q + 2p \\ a = -(q + 2p)$$ $$-2 = -2q \\ q = 1$$ 13. از $$q=1$$ داریم: $$b = p + 2$$ $$a = -(1 + 2p)$$ 14. همچنین از مرحله 7، مجموع ریشه‌ها: $$2 + p = b$$ که با $$b = p + 2$$ همخوانی دارد. 15. پس مقدار $$a$$ و $$b$$ به صورت تابعی از $$p$$ است. برای تعیین مقدار دقیق $$a$$ و $$b$$ باید مقدار $$p$$ را تعیین کنیم. چون $$r_2$$ و $$r_3$$ ریشه‌های معادله درجه دوم $$x^2 - px + 1 = 0$$ هستند. 16. ریشه‌های معادله درجه دوم: $$x = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - 4}}{2}$$ 17. برای ریشه‌های حقیقی، باید $$p^2 - 4 \geq 0$$ باشد. 18. در نهایت: $$a = -(1 + 2p)$$ $$b = p + 2$$ ریشه‌ها: $$x = 2, \quad x = \frac{p + \sqrt{p^2 - 4}}{2}, \quad x = \frac{p - \sqrt{p^2 - 4}}{2}$$ اگر مقدار خاصی برای $$p$$ داده شود، می‌توان مقدار دقیق $$a$$ و $$b$$ و ریشه‌ها را یافت. در غیر این صورت، جواب به صورت پارامتری است.