سرعت برگشت

1. مسئله را بیان می‌کنیم: فاصله مستقیم بین دو شهر A و B برابر 240 کیلومتر است. راننده در مسیر رفت با سرعتی 20 کیلومتر بر ساعت بیشتر از مسیر برگشت حرکت می‌کند، اما در مسیر رفت 30 دقیقه توقف دارد. در مسیر برگشت، راننده باید 25 درصد بیشتر از مسیر مستقیم را طی کند و زمان مسیر برگشت 30 دقیقه بیشتر از زمان رفت است. هدف یافتن سرعت راننده در مسیر برگشت است. 2. تعریف متغیرها: - سرعت برگشت را $v$ کیلومتر بر ساعت فرض می‌کنیم. - سرعت رفت برابر $v + 20$ کیلومتر بر ساعت است. - فاصله رفت برابر 240 کیلومتر است. - فاصله برگشت برابر $240 \times 1.25 = 300$ کیلومتر است. 3. زمان‌ها را بر حسب سرعت‌ها و فاصله‌ها می‌نویسیم: - زمان رفت بدون توقف: $\frac{240}{v+20}$ ساعت - زمان توقف در مسیر رفت: $0.5$ ساعت - کل زمان رفت: $t_{رفت} = \frac{240}{v+20} + 0.5$ - زمان برگشت: $t_{برگشت} = \frac{300}{v}$ 4. طبق مسئله، زمان برگشت 30 دقیقه (0.5 ساعت) بیشتر از زمان رفت است: $$t_{برگشت} = t_{رفت} + 0.5$$ 5. جایگذاری مقادیر: $$\frac{300}{v} = \frac{240}{v+20} + 0.5 + 0.5 = \frac{240}{v+20} + 1$$ 6. معادله را حل می‌کنیم: $$\frac{300}{v} - \frac{240}{v+20} = 1$$ 7. کسرها را به صورت یک کسر واحد درمی‌آوریم: $$\frac{300(v+20) - 240v}{v(v+20)} = 1$$ 8. صورت کسر را ساده می‌کنیم: $$300v + 6000 - 240v = 60v + 6000$$ 9. معادله به شکل زیر است: $$\frac{60v + 6000}{v(v+20)} = 1$$ 10. ضرب طرفین در مخرج کسر: $$60v + 6000 = v^2 + 20v$$ 11. معادله درجه دوم را به شکل استاندارد می‌آوریم: $$v^2 + 20v - 60v - 6000 = 0$$ $$v^2 - 40v - 6000 = 0$$ 12. حل معادله درجه دوم با فرمول کلی: $$v = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 1 \times (-6000)}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 24000}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{25600}}{2}$$ 13. محاسبه ریشه مربع: $$\sqrt{25600} = 160$$ 14. دو جواب داریم: $$v_1 = \frac{40 + 160}{2} = 100$$ $$v_2 = \frac{40 - 160}{2} = -60$$ 15. سرعت منفی معنی ندارد، پس سرعت برگشت برابر است با: $$\boxed{100}$$ کیلومتر بر ساعت. بنابراین سرعت راننده در مسیر برگشت 100 کیلومتر بر ساعت است.