متتاليات عددية

1. **التمرين 01**: لدينا المتتاليات: \( (U_n) = \frac{n^2 + 2}{n + 2} \), \( (V_n) = \frac{1}{n} - (-1)^n \), \( (W_n) = n^2 - 10n + 30 \). - **احسب الحدود الأربعة الأولى:** - \( U_0 = \frac{0^2 + 2}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1 \) - \( U_1 = \frac{1 + 2}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \) - \( U_2 = \frac{4 + 2}{2 + 2} = \frac{6}{4} = 1.5 \) - \( U_3 = \frac{9 + 2}{3 + 2} = \frac{11}{5} = 2.2 \) - \( V_1 = \frac{1}{1} - (-1)^1 = 1 - (-1) = 2 \) - \( V_2 = \frac{1}{2} - (-1)^2 = 0.5 - 1 = -0.5 \) - \( V_3 = \frac{1}{3} - (-1)^3 = \frac{1}{3} - (-1) = \frac{1}{3} + 1 = 1.333... \) - \( V_4 = \frac{1}{4} - (-1)^4 = 0.25 - 1 = -0.75 \) - \( W_0 = 0 - 0 + 30 = 30 \) - \( W_1 = 1 - 10 + 30 = 21 \) - \( W_2 = 4 - 20 + 30 = 14 \) - \( W_3 = 9 - 30 + 30 = 9 \) - **ادرس رتابة المتتاليات:** - \( U_n \) نلاحظ من القيم أنها تزداد من 1 إلى 2.2، لكن نحتاج لاشتقاق أو مقارنة حدود متتالية. - \( V_n \) تتغير بين قيم موجبة وسالبة بالتناوب بسبب \( (-1)^n \)، إذن غير رتيبة. - \( W_n \) دالة تربيعية، ندرس التفاضل: \( W_{n+1} - W_n = (n+1)^2 - 10(n+1) + 30 - (n^2 - 10n + 30) = 2n + 1 - 10 = 2n - 9 \). - عندما \( n \geq 5 \)، الفرق \( \geq 1 \) موجب، إذن \( W_n \) تزداد بعد \( n=5 \). - **هل هي متقاربة؟** - \( U_n \) ندرس النهاية: $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n} = \lim_{n \to \infty} n = +\infty,$$ إذن \( U_n \) غير متقاربة. - \( V_n \) بسبب \( (-1)^n \) لا تتقارب. - \( W_n \) دالة تربيعية تزداد بلا حدود، غير متقاربة. 2. **التمرين 02**: المتتالية التراجعية: \( U_0 = 1, \quad U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2} \). - **أثبت أن يمكن كتابة:** $$ U_{n+1} = a + \frac{b}{U_n + 2} $$ نكتب: $$ \frac{4U_n}{U_n + 2} = a + \frac{b}{U_n + 2} = \frac{a(U_n + 2) + b}{U_n + 2} = \frac{aU_n + 2a + b}{U_n + 2} $$ نساوي البسط: $$ 4U_n = aU_n + 2a + b $$ نساوي معاملات \( U_n \) والثوابت: \( 4 = a \) و \( 0 = 2a + b \) \Rightarrow b = -2a = -8 \). إذن: $$ U_{n+1} = 4 - \frac{8}{U_n + 2} $$ - **برهن أن \( 1 \leq U_n < 2 \) لجميع \( n \):** - أساس: \( U_0 = 1 \) تحقق. - فرض: \( 1 \leq U_n < 2 \). - ندرس \( U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2} \). - لأن \( U_n \geq 1 \), المقام \( U_n + 2 \geq 3 \). - نحسب الحدود: - الحد الأدنى: \( U_{n+1} \geq \frac{4 \times 1}{1 + 2} = \frac{4}{3} > 1 \). - الحد الأعلى: \( U_{n+1} < \frac{4 \times 2}{2 + 2} = \frac{8}{4} = 2 \). إذن \( 1 < U_{n+1} < 2 \) تحقق. - **ادرس رتابة المتتالية:** - ندرس الفرق: $$ U_{n+1} - U_n = \frac{4U_n}{U_n + 2} - U_n = U_n \left( \frac{4}{U_n + 2} - 1 \right) = U_n \frac{4 - (U_n + 2)}{U_n + 2} = U_n \frac{2 - U_n}{U_n + 2} $$ - لأن \( 1 \leq U_n < 2 \), \( 2 - U_n > 0 \) و \( U_n > 0 \), إذن الفرق \( > 0 \). - إذن \( (U_n) \) متزايدة. - **هل المتتالية متقاربة؟** - بما أنها متزايدة ومحدودة \( (1 \leq U_n < 2) \)، فهي متقاربة. 3. **التمرين 03**: - **أوجد الحد العام \( U_n \) إذا كانت متتالية حسابية أساسها 3 و \( r=20 \) و \( U_4 \):** - صيغة المتتالية الحسابية: $$ U_n = U_0 + nr $$ - إذا كان الأساس 3 يعني \( U_0 = 3 \) و \( r = 20 \)، إذن: $$ U_n = 3 + 20n $$ - **نوع المتتالية \( V_n = U_{3n+1} \):** - \( V_n = U_{3n+1} = 3 + 20(3n + 1) = 3 + 60n + 20 = 23 + 60n \) - إذن \( V_n \) متتالية حسابية بنسبة \( 60 \). - **نوع المتتالية \( W_n = e^{U_n} \):** - \( W_n = e^{3 + 20n} = e^3 \times e^{20n} \) - هذه متتالية هندسية بنسبة \( e^{20} \). **النتائج النهائية:** - حدود \( U_n \) الأربعة الأولى: 1, 1, 1.5, 2.2 - حدود \( V_n \) الأربعة الأولى: 2, -0.5, 1.333..., -0.75 - حدود \( W_n \) الأربعة الأولى: 30, 21, 14, 9 - \( U_n \) غير متقاربة، \( V_n \) غير متقاربة، \( W_n \) غير متقاربة. - في التمرين 02، \( U_n \) متزايدة ومحدودة بين 1 و 2، إذن متقاربة. - في التمرين 03، \( U_n = 3 + 20n \), \( V_n \) متتالية حسابية، \( W_n \) متتالية هندسية.