1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا متتالية عددية $U_n$ معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية، ونريد إثبات بعض الخصائص المتعلقة بها. 2. المعطى الأول: تحقق أن $24 + 42 + 10$، ونريد استنتاج شيء من ذلك. (يبدو أن هناك خطأ في النص، لكن سنركز على الجزء التالي) 3. إثبات بالتراجع الرياضي أن $U_n$ موجبة تمامًا لكل $n$ طبيعي. 4. نستخدم قاعدة التراجع: - قاعدة البداية: نثبت أن $U_0 > 0$. - فرض التراجع: نفترض أن $U_k > 0$ لكل $k \\leq n$. - خطوة التراجع: نثبت أن $U_{n+1} > 0$ باستخدام العلاقة المعطاة للمتتالية. 5. إثبات أن المتتالية $U_n$ متزايدة أو متناقصة (اتجاه التغير) بناءً على العلاقة بين حدودها. 6. حل السؤال عن تقارب المتتالية: نبحث عن حدها عندما $n \to \infty$. 7. بالنسبة للمتتالية $V_n$ المعرفة على مجموعة الأعداد الصحيحة، نثبت أنها متتالية حسابية بأساس 1. 8. نحسب مجموع حدود المتتالية $S_n$ بدلالة $n$ باستخدام صيغة مجموع المتتالية الحسابية: $$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$ 9. نستنتج النهاية: $$\lim_{n \to \infty} U_n = 6 + 3 = 9$$ 10. نثبت أن المتتاليتين $U_n$ و $W_n$ متجاورتان بناءً على تعريف المتتاليات المتجاورة. النتيجة النهائية: المتتالية $U_n$ موجبة ومتقاربة إلى 9، والمتتالية $V_n$ حسابية بأساس 1، والمتتاليتان $U_n$ و $W_n$ متجاورتان.