1. نُعطى متتالية حسابية متزايدة \((u_n)\) حيث \(u_3 = 2\) و \[\frac{1}{u_5} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{5}\] 2. نعلم أن المتتالية الحسابية تحقق: \[u_n = u_1 + (n-1)r\] حيث \(r\) هو الأساس (الفرق المشترك). 3. نعوض في المعادلة المعطاة: \[u_3 = u_1 + 2r = 2\] \[u_5 = u_1 + 4r\] 4. نستخدم المعادلة: \[\frac{1}{u_5} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{5}\] أي: \[\frac{1}{u_1 + 4r} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{5}\] 5. نجمع الطرف الأيسر على أساس مشترك: \[\frac{u_1 - (u_1 + 4r)}{u_1(u_1 + 4r)} = \frac{3}{5}\] \[\frac{-4r}{u_1(u_1 + 4r)} = \frac{3}{5}\] 6. نضرب طرفي المعادلة في \(-1\) ونضرب طرفيها في \(5 u_1 (u_1 + 4r)\): \[20 r = -3 u_1 (u_1 + 4r)\] \[20 r = -3 u_1^2 - 12 r u_1\] 7. نجمع الحدود: \[20 r + 12 r u_1 = -3 u_1^2\] \[r(20 + 12 u_1) = -3 u_1^2\] 8. من المعادلة \(u_3 = u_1 + 2r = 2\) نستطيع التعبير عن \(r\): \[r = \frac{2 - u_1}{2}\] 9. نعوض \(r\) في المعادلة السابقة: \[\left(\frac{2 - u_1}{2}\right)(20 + 12 u_1) = -3 u_1^2\] \[(2 - u_1)(20 + 12 u_1) = -6 u_1^2\] 10. نوسع الطرف الأيسر: \[40 + 24 u_1 - 20 u_1 - 12 u_1^2 = -6 u_1^2\] \[40 + 4 u_1 - 12 u_1^2 = -6 u_1^2\] 11. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: \[40 + 4 u_1 - 12 u_1^2 + 6 u_1^2 = 0\] \[40 + 4 u_1 - 6 u_1^2 = 0\] 12. نرتب المعادلة: \[-6 u_1^2 + 4 u_1 + 40 = 0\] \[6 u_1^2 - 4 u_1 - 40 = 0\] 13. نستخدم صيغة المعادلة التربيعية لحل \(u_1\): \[u_1 = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 6 \times (-40)}}{2 \times 6} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 960}}{12} = \frac{4 \pm \sqrt{976}}{12}\] 14. نحسب الجذر: \[\sqrt{976} \approx 31.24\] 15. القيم المحتملة لـ \(u_1\): \[u_1 = \frac{4 + 31.24}{12} \approx 2.77\] أو \[u_1 = \frac{4 - 31.24}{12} \approx -2.27\] 16. بما أن المتتالية متزايدة و \(u_3 = 2\) موجبة، نأخذ \(u_1 \approx 2.77\). 17. نحسب \(r\): \[r = \frac{2 - 2.77}{2} = \frac{-0.77}{2} = -0.385\] لكن \(r\) يجب أن يكون موجباً لأن المتتالية متزايدة، إذن نأخذ القيمة الأخرى لـ \(u_1\): \[u_1 \approx -2.27\] \[r = \frac{2 - (-2.27)}{2} = \frac{4.27}{2} = 2.135\] 18. إذن الأساس \(r = 2.135\) والأساس الأول \(u_1 = -2.27\). 19. لحساب مجموع \(S_n\): \[S_n = \frac{n}{2} (2 u_1 + (n-1) r)\] 20. نعوض القيم: \[S_n = \frac{n}{2} (2 \times (-2.27) + (n-1) \times 2.135) = \frac{n}{2} (-4.54 + 2.135 n - 2.135) = \frac{n}{2} (2.135 n - 6.675)\] 21. نبسط: \[S_n = \frac{n}{2} (2.135 n - 6.675) = 1.0675 n^2 - 3.3375 n\] 22. نريد أصغر \(n_0\) بحيث: \[S_{n_0} > 217\] \[1.0675 n_0^2 - 3.3375 n_0 > 217\] 23. ننقل 217 إلى جهة اليسار: \[1.0675 n_0^2 - 3.3375 n_0 - 217 > 0\] 24. نحل المعادلة التربيعية: \[n_0 = \frac{3.3375 \pm \sqrt{(-3.3375)^2 - 4 \times 1.0675 \times (-217)}}{2 \times 1.0675}\] 25. نحسب المميز: \[3.3375^2 = 11.14\] \[4 \times 1.0675 \times 217 = 926.54\] \[\sqrt{11.14 + 926.54} = \sqrt{937.68} \approx 30.62\] 26. القيم: \[n_0 = \frac{3.3375 + 30.62}{2.135} \approx 16.17\] أو \[n_0 = \frac{3.3375 - 30.62}{2.135} < 0\] (نرفضها) 27. إذن أصغر عدد طبيعي \(n_0 = 17\) يحقق \(S_{n_0} > 217\). **النتائج النهائية:** - الأساس \(r \approx 2.135\) - الحد الأول \(u_1 \approx -2.27\) - مجموع المتتالية: \[S_n = 1.0675 n^2 - 3.3375 n\] - أصغر \(n_0 = 17\) بحيث \(S_{n_0} > 217\).