1. نُعطى متتالية حسابية متزايدة $(u_n)$ حيث $u_3=2$ و $\frac{1}{u_5} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{8}$. 2. نعلم أن المتتالية الحسابية تحقق $u_n = u_1 + (n-1)r$ حيث $r$ هو الأساس. 3. من المعطى $u_3 = u_1 + 2r = 2$. 4. أيضاً، $u_5 = u_1 + 4r$. 5. نعوض في المعادلة $\frac{1}{u_5} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{8}$: $$\frac{1}{u_1 + 4r} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{8}$$ 6. نجمع الطرفين على أساس مقام مشترك: $$\frac{u_1 - (u_1 + 4r)}{u_1(u_1 + 4r)} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{-4r}{u_1(u_1 + 4r)} = \frac{3}{8}$$ 7. نضرب طرفي المعادلة في $-1$: $$\frac{4r}{u_1(u_1 + 4r)} = -\frac{3}{8}$$ 8. بما أن المتتالية متزايدة، إذن $r > 0$، لكن الجانب الأيمن سالب، إذن هناك خطأ في الإشارة. نعيد النظر في الخطوة 6: $$\frac{1}{u_5} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{u_1 + 4r} - \frac{1}{u_1} = \frac{u_1 - (u_1 + 4r)}{u_1(u_1 + 4r)} = \frac{-4r}{u_1(u_1 + 4r)}$$ إذن الجانب الأيسر سالب، والجانب الأيمن موجب، وهذا يتناقض مع كون $r > 0$. 9. إذن $r$ يجب أن يكون سالباً، لكن المتتالية متزايدة، إذن $r > 0$. 10. هذا تناقض، لذا نعيد النظر في المعطيات أو نفترض أن $r < 0$. 11. نحل المعادلتين: من $u_3 = u_1 + 2r = 2$ (1) ومن $\frac{1}{u_5} - \frac{1}{u_1} = \frac{3}{8}$ حيث $u_5 = u_1 + 4r$ (2) 12. نعوض $u_1 = 2 - 2r$ من (1) في (2): $$\frac{1}{(2 - 2r) + 4r} - \frac{1}{2 - 2r} = \frac{3}{8}$$ $$\frac{1}{2 + 2r} - \frac{1}{2 - 2r} = \frac{3}{8}$$ 13. نوجد المقام المشترك: $$\frac{(2 - 2r) - (2 + 2r)}{(2 + 2r)(2 - 2r)} = \frac{3}{8}$$ $$\frac{2 - 2r - 2 - 2r}{4 - 4r^2} = \frac{3}{8}$$ $$\frac{-4r}{4(1 - r^2)} = \frac{3}{8}$$ 14. نبسط: $$\frac{-r}{1 - r^2} = \frac{3}{8}$$ 15. نضرب طرفي المعادلة في $8(1 - r^2)$: $$-8r = 3(1 - r^2)$$ 16. نوزع: $$-8r = 3 - 3r^2$$ 17. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $$3r^2 - 8r - 3 = 0$$ 18. نحل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة: $$r = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 3 \times (-3)}}{2 \times 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$$ 19. الحلول: $$r_1 = \frac{8 + 10}{6} = 3$$ $$r_2 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{1}{3}$$ 20. المتتالية متزايدة إذن $r = 3$. 21. من (1) $u_1 = 2 - 2r = 2 - 6 = -4$. 22. نحسب مجموع الحدود $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)r)$: $$S_n = \frac{n}{2}(2 \times (-4) + (n-1) \times 3) = \frac{n}{2}(-8 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(3n - 11)$$ 23. نريد أصغر عدد طبيعي $n_0$ بحيث $S_{n_0} > 217$: $$\frac{n_0}{2}(3n_0 - 11) > 217$$ $$n_0(3n_0 - 11) > 434$$ $$3n_0^2 - 11n_0 - 434 > 0$$ 24. نحل المعادلة التربيعية: $$3n_0^2 - 11n_0 - 434 = 0$$ $$n_0 = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \times 3 \times (-434)}}{2 \times 3} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 5208}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{5329}}{6}$$ $$\sqrt{5329} = 73$$ $$n_0 = \frac{11 \pm 73}{6}$$ 25. الحلول: $$n_0 = \frac{11 + 73}{6} = 14$$ $$n_0 = \frac{11 - 73}{6} = -10.33$$ (غير طبيعي) 26. إذن أصغر عدد طبيعي يحقق الشرط هو $n_0 = 14$. **النتائج النهائية:** - الأساس $r = 3$ - الحد الأول $u_1 = -4$ - مجموع الحدود $S_n = \frac{n}{2}(3n - 11)$ - أصغر عدد طبيعي $n_0$ بحيث $S_{n_0} > 217$ هو $14$.