1. نبدأ بتحديد المتتالية الهندسية: إذا كانت الحدود الثلاثة الأولى هي $v_1$, $v_2$, و $v_3$، فإن العلاقة بين الحدود هي $v_2 = v_1 r$ و $v_3 = v_1 r^2$ حيث $r$ هو النسبة المشتركة. 2. المعطيات هي: $$v_1 \times v_2 \times v_3 = -1$$ $$v_1 + v_2 - 6 v_3 = 0$$ 3. نعوض $v_2$ و $v_3$ بدلالة $v_1$ و $r$: $$v_1 \times (v_1 r) \times (v_1 r^2) = v_1^3 r^3 = -1$$ $$v_1 + v_1 r - 6 v_1 r^2 = 0$$ 4. من المعادلة الثانية، نقسم على $v_1$ (بما أن الحدود سالبة وليست صفر): $$1 + r - 6 r^2 = 0$$ 5. نحل المعادلة التربيعية: $$6 r^2 - r - 1 = 0$$ 6. باستخدام صيغة الحلول: $$r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 6 \times (-1)}}{2 \times 6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12}$$ 7. الحلول: - $$r = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$$ - $$r = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$ 8. نختبر كل قيمة $r$ في المعادلة الأولى: - إذا كان $r=0.5$: $$v_1^3 (0.5)^3 = -1 \Rightarrow v_1^3 \times 0.125 = -1 \Rightarrow v_1^3 = -8 \Rightarrow v_1 = -2$$ - إذا كان $r = -\frac{1}{3}$: $$v_1^3 \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -1 \Rightarrow v_1^3 \times \left(-\frac{1}{27}\right) = -1 \Rightarrow v_1^3 = 27 \Rightarrow v_1 = 3$$ 9. نختار الحل الذي يجعل الحدود سالبة كما في المعطى: - مع $r=0.5$ و $v_1 = -2$، الحدود هي: $$v_1 = -2, \quad v_2 = -2 \times 0.5 = -1, \quad v_3 = -2 \times (0.5)^2 = -0.5$$ 10. إذن الحدود الثلاثة الأولى هي $-2$, $-1$, و $-0.5$. النتيجة النهائية: $$v_1 = -2, \quad v_2 = -1, \quad v_3 = -0.5$$