1. نبدأ بكتابة معطيات المسألة: المتتالية $(v_n)$ هندسية وحدودها موجبة تماماً. 2. المعادلات المعطاة: $$\ln v_1 + \ln v_5 = 4 \ln 2 + 2 \ln 3$$ $$v_2 + v_3 + v_4 = 42$$ 3. بما أن المتتالية هندسية، يمكن التعبير عن الحدود بدلالة الحد الأول $v_1$ والنسبة $r$: $$v_n = v_1 r^{n-1}$$ 4. نستخدم المعادلة الأولى: $$\ln v_1 + \ln v_5 = \ln v_1 + \ln (v_1 r^4) = \ln (v_1^2 r^4) = 4 \ln 2 + 2 \ln 3$$ 5. نستخدم خاصية اللوغاريتم: $$\ln (v_1^2 r^4) = \ln (2^4 \times 3^2) = \ln (16 \times 9) = \ln 144$$ 6. إذن: $$v_1^2 r^4 = 144$$ 7. المعادلة الثانية: $$v_2 + v_3 + v_4 = v_1 r + v_1 r^2 + v_1 r^3 = v_1 (r + r^2 + r^3) = 42$$ 8. نريد إيجاد $v_1$ و $r$ بحيث تحقق المعادلتين: $$\begin{cases} v_1^2 r^4 = 144 \\ v_1 (r + r^2 + r^3) = 42 \end{cases}$$ 9. من المعادلة الثانية: $$v_1 = \frac{42}{r + r^2 + r^3}$$ 10. نعوض في المعادلة الأولى: $$\left(\frac{42}{r + r^2 + r^3}\right)^2 r^4 = 144$$ 11. نبسط: $$\frac{42^2 r^4}{(r + r^2 + r^3)^2} = 144$$ 12. نضرب طرفي المعادلة في $(r + r^2 + r^3)^2$: $$42^2 r^4 = 144 (r + r^2 + r^3)^2$$ 13. نحسب $42^2 = 1764$: $$1764 r^4 = 144 (r + r^2 + r^3)^2$$ 14. نقسم الطرفين على 36: $$49 r^4 = 4 (r + r^2 + r^3)^2$$ 15. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$7 r^2 = 2 (r + r^2 + r^3)$$ 16. نوزع الطرف الأيمن: $$7 r^2 = 2r + 2r^2 + 2r^3$$ 17. ننقل كل الحدود إلى جهة واحدة: $$0 = 2r + 2r^2 + 2r^3 - 7 r^2 = 2r + 2r^3 - 5 r^2$$ 18. نرتب الحدود: $$2r^3 - 5 r^2 + 2r = 0$$ 19. نخرج العامل المشترك $r$: $$r (2r^2 - 5r + 2) = 0$$ 20. لأن $r > 0$ (النسبة في متتالية هندسية موجبة)، نستبعد $r=0$ ونحل المعادلة التربيعية: $$2r^2 - 5r + 2 = 0$$ 21. نستخدم صيغة الحلول: $$r = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$$ 22. الحلول: $$r_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$$ $$r_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$$ 23. نختار $r=2$ لأن المتتالية تصاعدية $v_5 > v_4 > v_3 > v_2 > v_1$. 24. نحسب $v_1$: $$v_1 = \frac{42}{2 + 4 + 8} = \frac{42}{14} = 3$$ 25. نتحقق من العلاقة: $$v_1 \times v_5 = v_1 \times v_1 r^4 = 3 \times 3 \times 2^4 = 9 \times 16 = 144$$ $$v_3^2 = (v_1 r^2)^2 = (3 \times 4)^2 = 12^2 = 144$$ 26. إذن: $$v_1 \times v_5 = v_3^2$$ 27. الترتيب: $$v_1 = 3, v_2 = 6, v_3 = 12, v_4 = 24, v_5 = 48$$ وهذا يحقق: $$v_5 > v_4 > v_3 > v_2 > v_1$$