مدى الدالة

1. نبدأ بتحديد مدى الدالة المعطاة: $$f(x) = \frac{x}{2+x^2}$$. 2. الدالة معرفة لجميع قيم $x$ لأن المقام $2+x^2$ لا يساوي صفرًا لأي $x$ حقيقي. 3. لإيجاد المدى، نعتبر المتغير الوسيط $y = \frac{x}{2+x^2}$ ونريد إيجاد قيم $y$ الممكنة. 4. نضرب طرفي المعادلة في المقام: $$y(2+x^2) = x$$. 5. نعيد ترتيب المعادلة: $$yx^2 - x + 2y = 0$$. 6. هذه معادلة تربيعية في $x$: $$yx^2 - x + 2y = 0$$. 7. لكي يكون لـ $x$ حل حقيقي، يجب أن يكون المميز $\Delta \geq 0$ حيث: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot 2y = 1 - 8y^2 \geq 0$$. 8. إذن: $$1 - 8y^2 \geq 0 \Rightarrow 8y^2 \leq 1 \Rightarrow y^2 \leq \frac{1}{8}$$. 9. بالتالي: $$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq y \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$$. 10. إذن مدى الدالة هو: $$\left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}\right]$$.