1. نبدأ بكتابة المعادلة المعطاة: $$d(s) = -s^2 + 4s + m$$ حيث نريد إيجاد قيمة $m$ ومساحة المربع $ص ا م$. 2. نفهم أن المربع موضوع بحيث أحد رؤوسه على محور $s$ (أي $d(s) = 0$ عند هذا الرأس) والرأس المقابل على المنحنى. 3. لإيجاد نقطة تقاطع المنحنى مع محور $s$، نحل المعادلة: $$-s^2 + 4s + m = 0$$ 4. بما أن الرأس على محور $s$ هو أحد رؤوس المربع، وللمربع أضلاع متساوية، طول الضلع $ل$ يساوي المسافة بين نقطة التقاطع على المحور والنقطة على المنحنى. 5. نفترض أن نقطة التقاطع على محور $s$ هي عند $s = a$، إذن: $$-a^2 + 4a + m = 0$$ 6. طول ضلع المربع $ل = a$ (لأن المربع يمتد من $s=0$ إلى $s=a$ على المحور). 7. المساحة $ص ا م = ل^2 = a^2$. 8. لإيجاد $m$، نستخدم أن النقطة المقابلة على المنحنى تقع عند $s = 0$، إذن: $$d(0) = -0 + 0 + m = m$$ 9. بما أن المربع يمتد من $s=0$ إلى $s=a$، وطول الضلع $ل = a$، فإن قيمة $m$ تساوي ارتفاع المنحنى عند $s=0$، أي $m$. 10. نستخدم شرط أن المربع له ضلعان متعامدان ومتساويان، ونستنتج أن: $$m = a^2$$ 11. نحل المعادلة: $$-a^2 + 4a + m = 0$$ وبالتعويض $m = a^2$: $$-a^2 + 4a + a^2 = 0 \\ 4a = 0 \\ a = 0$$ 12. الحل $a=0$ غير منطقي للمربع، إذن نعيد النظر ونفترض أن المربع له ضلع $ل$، ونستخدم المعادلة: $$d(l) = l$$ لأن ارتفاع المنحنى عند $s=l$ يساوي طول الضلع. 13. إذن: $$-l^2 + 4l + m = l$$ 14. نبسط: $$-l^2 + 4l + m - l = 0 \\ -l^2 + 3l + m = 0$$ 15. نحل بالنسبة لـ $m$: $$m = l^2 - 3l$$ 16. نستخدم شرط أن المربع يقع بين $s=0$ و $s=l$، وعند $s=0$: $$d(0) = m$$ 17. المساحة: $$ص ا م = ل^2$$ النتيجة النهائية: - قيمة $m = l^2 - 3l$ - مساحة المربع $ص ا م = ل^2$ حيث $ل$ هو طول ضلع المربع. يمكن اختيار $ل$ حسب شروط إضافية أو رسم بياني لتحديد القيمة الدقيقة.