1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا كميات أ، ب، ج، د متناسبة، ونريد إثبات أن $$\frac{أ}{ب} - أ = \frac{ج}{د} - ج$$. 2. بما أن الكميات أ، ب، ج، د متناسبة، فهذا يعني أن هناك ثابت تناسب $k$ بحيث: $$\frac{أ}{ب} = \frac{ج}{د} = k$$ 3. نكتب كل من أ و ج بدلالة ب و د والعدد k: $$أ = k \times ب$$ $$ج = k \times د$$ 4. نعود إلى التعبير المطلوب إثباته: $$\frac{أ}{ب} - أ = \frac{ج}{د} - ج$$ 5. نعوض عن أ و ج: $$\frac{k \times ب}{ب} - k \times ب = \frac{k \times د}{د} - k \times د$$ 6. نبسط الكسور: $$k - k \times ب = k - k \times د$$ 7. نلاحظ أن التعبيرين غير متساويين إلا إذا كان $ب = د$، ولكن هذا لا يضمن صحة المعادلة كما هي. 8. نعيد النظر في التعبير الأصلي، ربما المقصود هو: $$\frac{أ}{ب} - 1 = \frac{ج}{د} - 1$$ 9. إذا كان هذا هو المقصود، نثبت ذلك: 10. بما أن $\frac{أ}{ب} = \frac{ج}{د} = k$، إذن: $$\frac{أ}{ب} - 1 = k - 1$$ $$\frac{ج}{د} - 1 = k - 1$$ 11. إذن: $$\frac{أ}{ب} - 1 = \frac{ج}{د} - 1$$ 12. وهذا يثبت صحة العلاقة المطلوبة. النتيجة النهائية: $$\frac{أ}{ب} - 1 = \frac{ج}{د} - 1$$