1. Stated problem: Vyřešíme rovnici $$|x - 4| + |2x - 7| = |x| + 3$$ pomocí nulových bodů. 2. Nulové body absolutních hodnot jsou body, kde se výraz uvnitř absolutní hodnoty rovná nule: - Pro $$|x - 4|$$ je nulový bod $$x = 4$$. - Pro $$|2x - 7|$$ je nulový bod $$2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$$. - Pro $$|x|$$ je nulový bod $$x = 0$$. 3. Rozdělíme osu reálných čísel podle těchto nulových bodů na intervaly: $$(-\infty, 0), (0, 3.5), (3.5, 4), (4, +\infty)$$ 4. Na každém intervalu vyjádříme absolutní hodnoty bez absolutních značek podle znaménka výrazu uvnitř: - Pro $$x < 0$$: $$|x - 4| = 4 - x$$ (protože $$x-4 < 0$$), $$|2x - 7| = 7 - 2x$$ (protože $$2x-7 < 0$$), $$|x| = -x$$ (protože $$x < 0$$). Rovnice: $$4 - x + 7 - 2x = -x + 3$$ $$11 - 3x = -x + 3$$ Přesuneme všechny členy na jednu stranu: $$11 - 3x + x - 3 = 0$$ $$8 - 2x = 0$$ Vyřešíme pro $$x$$: $$2x = 8$$ $$x = 4$$ Toto řešení není v intervalu $$(-\infty, 0)$$, takže ho zamítáme. 5. Pro $$0 \leq x < 3.5$$: $$|x - 4| = 4 - x$$ (protože $$x-4 < 0$$), $$|2x - 7| = 7 - 2x$$ (protože $$2x-7 < 0$$), $$|x| = x$$ (protože $$x \geq 0$$). Rovnice: $$4 - x + 7 - 2x = x + 3$$ $$11 - 3x = x + 3$$ Přesuneme všechny členy na jednu stranu: $$11 - 3x - x - 3 = 0$$ $$8 - 4x = 0$$ Vyřešíme pro $$x$$: $$4x = 8$$ $$x = 2$$ Toto řešení je v intervalu $$[0, 3.5)$$, takže je platné. 6. Pro $$3.5 \leq x < 4$$: $$|x - 4| = 4 - x$$ (protože $$x-4 < 0$$), $$|2x - 7| = 2x - 7$$ (protože $$2x-7 \geq 0$$), $$|x| = x$$ (protože $$x \geq 0$$). Rovnice: $$4 - x + 2x - 7 = x + 3$$ $$-3 + x = x + 3$$ Přesuneme všechny členy na jednu stranu: $$-3 + x - x - 3 = 0$$ $$-6 = 0$$ Tato rovnost není pravdivá, žádné řešení v tomto intervalu není. 7. Pro $$x \geq 4$$: $$|x - 4| = x - 4$$ (protože $$x-4 \geq 0$$), $$|2x - 7| = 2x - 7$$ (protože $$2x-7 \geq 0$$), $$|x| = x$$ (protože $$x \geq 0$$). Rovnice: $$x - 4 + 2x - 7 = x + 3$$ $$3x - 11 = x + 3$$ Přesuneme všechny členy na jednu stranu: $$3x - 11 - x - 3 = 0$$ $$2x - 14 = 0$$ Vyřešíme pro $$x$$: $$2x = 14$$ $$x = 7$$ Toto řešení je v intervalu $$[4, +\infty)$$, takže je platné. 8. Shrnutí platných řešení: $$x = 2$$ a $$x = 7$$. 9. Ověření dosazením do původní rovnice: - Pro $$x=2$$: $$|2-4| + |4-7| = |2| + 3$$ $$2 + 3 = 2 + 3$$ $$5 = 5$$ (platí) - Pro $$x=7$$: $$|7-4| + |14-7| = |7| + 3$$ $$3 + 7 = 7 + 3$$ $$10 = 10$$ (platí) **Výsledek:** $$x = 2$$ nebo $$x = 7$$.