1. **Énoncé du problème :** Simplifier l'expression rationnelle $$\frac{7}{5a^{2}b} + \frac{3}{2a^{3}} - \frac{1}{b^{2}}$$ et indiquer les restrictions. 2. **Formule et règles importantes :** Pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents, il faut : - Trouver le Plus Petit Dénominateur Commun (PPDC). - Réécrire chaque fraction avec ce dénominateur commun. - Additionner ou soustraire les numérateurs. - Simplifier si possible. - Indiquer les restrictions (valeurs interdites pour les variables qui rendent un dénominateur nul). 3. **Détermination du PPDC :** Les dénominateurs sont $5a^{2}b$, $2a^{3}$, et $b^{2}$. - Pour les coefficients numériques : $5$, $2$, et implicitement $1$ pour $b^{2}$. - Le PPCM de $5$, $2$, et $1$ est $10$. - Pour les variables : - $a^{2}$, $a^{3}$, et pas de $a$ dans $b^{2}$, donc prendre la plus grande puissance : $a^{3}$. - $b$, $1$, et $b^{2}$, donc prendre $b^{2}$. Donc, $$\text{PPDC} = 10a^{3}b^{2}$$ 4. **Réécriture des fractions avec le dénominateur commun :** - Première fraction : $$\frac{7}{5a^{2}b} = \frac{7 \times 2ab}{5a^{2}b \times 2ab} = \frac{14ab}{10a^{3}b^{2}}$$ - Deuxième fraction : $$\frac{3}{2a^{3}} = \frac{3 \times 5b^{2}}{2a^{3} \times 5b^{2}} = \frac{15b^{2}}{10a^{3}b^{2}}$$ - Troisième fraction : $$\frac{1}{b^{2}} = \frac{1 \times 10a^{3}}{b^{2} \times 10a^{3}} = \frac{10a^{3}}{10a^{3}b^{2}}$$ 5. **Addition et soustraction des numérateurs :** $$\frac{14ab}{10a^{3}b^{2}} + \frac{15b^{2}}{10a^{3}b^{2}} - \frac{10a^{3}}{10a^{3}b^{2}} = \frac{14ab + 15b^{2} - 10a^{3}}{10a^{3}b^{2}}$$ 6. **Restrictions :** Les dénominateurs ne doivent pas être nuls, donc : - $5a^{2}b \neq 0 \Rightarrow a \neq 0$ et $b \neq 0$ - $2a^{3} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0$ - $b^{2} \neq 0 \Rightarrow b \neq 0$ Donc, $$a \neq 0, \quad b \neq 0$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{14ab + 15b^{2} - 10a^{3}}{10a^{3}b^{2}} \quad \text{avec} \quad a \neq 0, b \neq 0}$$