1. Problemet: Vi skal finde den afledte af funktionen $$f(x) = \ln(x) \cdot (5x^4 + 2)$$ og derefter bestemme $$f'(1)$$. 2. Formel: Vi bruger produktreglen for differentiation, som siger: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ Her er $$u(x) = \ln(x)$$ og $$v(x) = 5x^4 + 2$$. 3. Differentier hver del: - $$u'(x) = \frac{1}{x}$$ - $$v'(x) = 20x^3$$ 4. Anvend produktreglen: $$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot (5x^4 + 2) + \ln(x) \cdot 20x^3$$ 5. Forenkl første led: $$\frac{1}{x} \cdot 5x^4 = 5x^{4-1} = 5x^3$$ Så $$f'(x) = 5x^3 + \frac{2}{x} + 20x^3 \ln(x)$$ 6. Bestem $$f'(1)$$ ved at indsætte $$x=1$$: - $$5 \cdot 1^3 = 5$$ - $$\frac{2}{1} = 2$$ - $$20 \cdot 1^3 \cdot \ln(1) = 20 \cdot 1 \cdot 0 = 0$$ (fordi $$\ln(1) = 0$$) 7. Summér resultaterne: $$f'(1) = 5 + 2 + 0 = 7$$ Svar: $$f'(1) = 7$$