1. **Problem statement:** Vi har funktionen $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 5x + 8$$. Vi skal først bestemme den afledte funktion $$f'(x)$$ (del a). Derefter skal vi bestemme monotoniforholdene for $$f$$ ud fra løsningerne til $$f'(x) = 0$$ (del b). 2. **Bestemmelse af $$f'(x)$$:** Vi bruger reglen for differentiation af potensfunktioner: $$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$. Derudover er differentialet af en sum lig summen af differentialerne. Funktionen er $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 5x + 8$$. Differentiation af hvert led: - $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 \right) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2$$ - $$\frac{d}{dx} (-2x^2) = -2 \cdot 2x^{2-1} = -4x$$ - $$\frac{d}{dx} (-5x) = -5$$ - $$\frac{d}{dx} (8) = 0$$ Så den afledte funktion er: $$f'(x) = x^2 - 4x - 5$$ 3. **Monotoniforhold for $$f$$:** Vi ved, at løsningerne til $$f'(x) = 0$$ er $$x = -1$$ og $$x = 5$$. Vi kan faktorisere $$f'(x)$$ for at bekræfte dette: $$f'(x) = x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$$ 4. **Undersøg fortegnet for $$f'(x)$$ på intervallerne:** - For $$x < -1$$: Vælg $$x = -2$$, så $$f'(-2) = (-2 - 5)(-2 + 1) = (-7)(-1) = 7 > 0$$, altså $$f'(x) > 0$$. - For $$-1 < x < 5$$: Vælg $$x = 0$$, så $$f'(0) = (0 - 5)(0 + 1) = (-5)(1) = -5 < 0$$, altså $$f'(x) < 0$$. - For $$x > 5$$: Vælg $$x = 6$$, så $$f'(6) = (6 - 5)(6 + 1) = (1)(7) = 7 > 0$$, altså $$f'(x) > 0$$. 5. **Konklusion på monotoniforhold:** - $$f$$ er voksende på intervallet $$(-\infty, -1)$$ fordi $$f'(x) > 0$$. - $$f$$ er aftagende på intervallet $$(-1, 5)$$ fordi $$f'(x) < 0$$. - $$f$$ er voksende på intervallet $$(5, \infty)$$ fordi $$f'(x) > 0$$. Dette betyder, at funktionen har et lokalt maksimum ved $$x = -1$$ og et lokalt minimum ved $$x = 5$$. **Endeligt svar:** $$f'(x) = x^2 - 4x - 5$$ Monotoniforhold: - Voksende for $$x < -1$$ - Aftagende for $$-1 < x < 5$$ - Voksende for $$x > 5$$