1. **Énoncé du problème :** Calculer l'aire $A$ sous la courbe $C_f$ de la fonction $f(x) = 18\left(-\frac{1}{x} + 1 + a \ln(x)\right)$ entre $x=1$ et $x=3$, avec $a$ une constante à déterminer. 2. **Estimation graphique de l'aire $A$ :** On observe que la courbe part de $(1,0)$, monte vers un maximum vers $x \approx 1.7$, puis redescend à $(3,0)$. En utilisant le quadrillage avec une échelle 1 cm pour 10 cm, on compte approximativement le nombre de carrés sous la courbe entre 1 et 3. Supposons que l'aire estimée soit environ 3 unités d'aire sur le graphique. Sachant que chaque unité d'aire correspond à $(10 \text{ cm}) \times (10 \text{ cm}) = 100 \text{ cm}^2$, l'aire estimée est donc $3 \times 100 = 300 \text{ cm}^2$. 3. **Vérification que $f(1) = 0$ :** Calculons $$f(1) = 18\left(-\frac{1}{1} + 1 + a \ln(1)\right) = 18(-1 + 1 + a \times 0) = 18 \times 0 = 0.$$ Donc $f(1) = 0$ est vérifié. 4. **Détermination de $a$ sachant que $f(3) = 0$ :** On a $$f(3) = 18\left(-\frac{1}{3} + 1 + a \ln(3)\right) = 0.$$ Divisons par 18 : $$-\frac{1}{3} + 1 + a \ln(3) = 0.$$ Simplifions : $$\frac{2}{3} + a \ln(3) = 0.$$ Isolons $a$ : $$a \ln(3) = -\frac{2}{3} \Rightarrow a = -\frac{2}{3 \ln(3)}.$$ 5. **Montrer que $F$ est une primitive de $f$ :** La fonction $$F(x) = 18\left( \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} x - \ln(x) - \frac{2}{3\ln(3)} x \ln(x) \right)$$ Calculons $F'(x)$ : \begin{align*} F'(x) &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} - \frac{1}{x} - \frac{2}{3\ln(3)} (\ln(x) + 1) \right) \\ &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} - \frac{1}{x} - \frac{2}{3\ln(3)} \ln(x) - \frac{2}{3\ln(3)} \right) \\ &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2 - 2}{3\ln(3)} - \frac{1}{x} - \frac{2}{3\ln(3)} \ln(x) \right) \\ &= 18 \left( \frac{3\ln(3)}{3\ln(3)} - \frac{1}{x} - \frac{2}{3\ln(3)} \ln(x) \right) \\ &= 18 \left( 1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{3\ln(3)} \ln(x) \right). \end{align*} Or, on a trouvé $a = -\frac{2}{3 \ln(3)}$, donc $$F'(x) = 18 \left( 1 - \frac{1}{x} + a \ln(x) \right) = f(x).$$ Donc $F$ est bien une primitive de $f$. 6. **Calcul de l'aire $A$ :** L'aire sous la courbe entre 1 et 3 est $$A = \int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1).$$ Calculons : \begin{align*} F(3) &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} \times 3 - \ln(3) - \frac{2}{3\ln(3)} \times 3 \ln(3) \right) \\ &= 18 \left( 3 \times \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} - \ln(3) - 2 \right) \\ &= 18 \left( \frac{3(3\ln(3) + 2)}{3\ln(3)} - \ln(3) - 2 \right) \\ &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2}{\ln(3)} - \ln(3) - 2 \right). \end{align*} Et \begin{align*} F(1) &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} \times 1 - \ln(1) - \frac{2}{3\ln(3)} \times 1 \times \ln(1) \right) \\ &= 18 \times \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)}. \end{align*} Donc \begin{align*} A &= F(3) - F(1) \\ &= 18 \left( \frac{3\ln(3) + 2}{\ln(3)} - \ln(3) - 2 \right) - 18 \times \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} \\ &= 18 \left[ \left( \frac{3\ln(3) + 2}{\ln(3)} - \ln(3) - 2 \right) - \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} \right]. \end{align*} En calculant numériquement avec $\ln(3) \approx 1.0986$ : \begin{align*} \frac{3\ln(3) + 2}{\ln(3)} &\approx \frac{3 \times 1.0986 + 2}{1.0986} = \frac{5.2958}{1.0986} \approx 4.82, \\ \ln(3) &\approx 1.0986, \\ \frac{3\ln(3) + 2}{3\ln(3)} &\approx \frac{5.2958}{3 \times 1.0986} = \frac{5.2958}{3.2958} \approx 1.607. \end{align*} Donc \begin{align*} A &\approx 18 \left(4.82 - 1.0986 - 2 - 1.607 \right) = 18 \times (4.82 - 4.7056) = 18 \times 0.1144 = 2.059. \end{align*} En unités d'aire du graphique, l'aire est environ $2.06$. En cm², avec l'échelle $1 \text{ unité} = 10 \text{ cm}$, donc aire multipliée par $100$ : $$A \approx 2.06 \times 100 = 206 \text{ cm}^2.$$