Algebra Aufgaben 3B4733

1. **Aufgabe 6: Terme vereinfachen** **a)** $(a + 9)^2$ Formel: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ $$ (a + 9)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 + 18a + 81 $$ **b)** $-(7 - 5b)^2 + 2b$ Formel: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ $$ -(7 - 5b)^2 + 2b = -\left(7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5b + (5b)^2\right) + 2b = -(49 - 70b + 25b^2) + 2b = -49 + 70b - 25b^2 + 2b = -49 + 72b - 25b^2 $$ **c)** $(6 + 5a)(6 - 5a)$ Formel: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ $$ (6 + 5a)(6 - 5a) = 6^2 - (5a)^2 = 36 - 25a^2 $$ **d)** $(1.5 + 3z)(-2z - 8)$ Ausmultiplizieren: $$ 1.5 \cdot (-2z) + 1.5 \cdot (-8) + 3z \cdot (-2z) + 3z \cdot (-8) = -3z - 12 - 6z^2 - 24z $$ Zusammenfassen: $$ -6z^2 + (-3z - 24z) - 12 = -6z^2 - 27z - 12 $$ 2. **Aufgabe 7: Funktionsgleichung in Normalform** **a)** $f(x) = (x - 3)^2 + 6$ $$ (x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot 3x + 3^2 = x^2 - 6x + 9 $$ $$ f(x) = x^2 - 6x + 9 + 6 = x^2 - 6x + 15 $$ **b)** $f(x) = -2 (x + 5)^2 - 7$ $$ (x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot 5x + 25 = x^2 + 10x + 25 $$ $$ f(x) = -2(x^2 + 10x + 25) - 7 = -2x^2 - 20x - 50 - 7 = -2x^2 - 20x - 57 $$ 3. **Aufgabe 8: Scheitelpunktform** **a)** $f(x) = x^2 + 6x - 3$ Halbieren des Koeffizienten von $x$: $\frac{6}{2} = 3$ $$ f(x) = (x + 3)^2 - 3 - 3^2 = (x + 3)^2 - 3 - 9 = (x + 3)^2 - 12 $$ **b)** $f(x) = -3x^2 + 6x + 7$ Faktor $-3$ ausklammern: $$ f(x) = -3(x^2 - 2x) + 7 $$ Halbieren des Koeffizienten von $x$ in Klammer: $\frac{-2}{2} = -1$ $$ f(x) = -3\left((x - 1)^2 - 1^2\right) + 7 = -3(x - 1)^2 + 3 + 7 = -3(x - 1)^2 + 10 $$ **c)** $f(x) = 4x + 0.4x^2 - 8$ Sortieren: $$ f(x) = 0.4x^2 + 4x - 8 $$ Faktor $0.4$ ausklammern: $$ f(x) = 0.4(x^2 + 10x) - 8 $$ Halbieren des Koeffizienten von $x$: $\frac{10}{2} = 5$ $$ f(x) = 0.4\left((x + 5)^2 - 5^2\right) - 8 = 0.4(x + 5)^2 - 0.4 \cdot 25 - 8 = 0.4(x + 5)^2 - 10 - 8 = 0.4(x + 5)^2 - 18 $$ 4. **Aufgabe 9: Lösungen quadratischer Gleichungen** **a)** $x^2 - 49 = 0$ $$ x^2 = 49 $$ $$ x = \pm 7 $$ $x_1 = 7; x_2 = -7$ **b)** $-91 + 4x^2 = -3x^2$ $$ 4x^2 + 3x^2 = 91 $$ $$ 7x^2 = 91 $$ $$ x^2 = 13 $$ $$ x = \pm \sqrt{13} $$ $x_1 = \sqrt{13}; x_2 = -\sqrt{13}$ **c)** $6x^2 - 72x = 0$ Faktor $6x$ ausklammern: $$ 6x(x - 12) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 12 $$ $x_1 = 0; x_2 = 12$ **d)** $28x^2 - 4x = 6(5x^2 + 2x)$ Ausmultiplizieren rechts: $$ 28x^2 - 4x = 30x^2 + 12x $$ Alle Terme auf eine Seite: $$ 28x^2 - 4x - 30x^2 - 12x = 0 $$ $$ -2x^2 - 16x = 0 $$ Faktor $-2x$ ausklammern: $$ -2x(x + 8) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{oder} \quad x = -8 $$ $x_1 = 0; x_2 = -8$ 5. **Aufgabe 10: Quadratische Gleichungen lösen** **a)** $x^2 + 6x + 8 = 0$ Diskriminante: $$ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 $$ Lösungen: $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} $$ $$ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4 $$ **b)** $79 - 3x^2 - 8x = 5$ Umstellen: $$ -3x^2 - 8x + 79 - 5 = 0 $$ $$ -3x^2 - 8x + 74 = 0 $$ Multipliziere mit $-1$: $$ 3x^2 + 8x - 74 = 0 $$ Diskriminante: $$ \Delta = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-74) = 64 + 888 = 952 $$ $$ \sqrt{952} \approx 30.86 $$ Lösungen: $$ x = \frac{-8 \pm 30.86}{2 \cdot 3} $$ $$ x_1 = \frac{-8 + 30.86}{6} \approx 3.81, \quad x_2 = \frac{-8 - 30.86}{6} \approx -6.81 $$ **c)** $-11x - 2 + 2x^2 = 4$ Umstellen: $$ 2x^2 - 11x - 2 - 4 = 0 $$ $$ 2x^2 - 11x - 6 = 0 $$ Diskriminante: $$ \Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 $$ $$ \sqrt{169} = 13 $$ Lösungen: $$ x = \frac{11 \pm 13}{2 \cdot 2} $$ $$ x_1 = \frac{11 + 13}{4} = 6, \quad x_2 = \frac{11 - 13}{4} = -0.5 $$ 6. **Aufgabe 11: Nullstellen und Schnittpunkte** $f(x) = x^2 + 5x + 4$ Nullstellen: $$ x^2 + 5x + 4 = 0 $$ Diskriminante: $$ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$ $$ x = \frac{-5 \pm 3}{2} $$ $$ x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4 $$ $g(x) = 0.5x + 1$ Nullstelle: $$ 0.5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -2 $$ Schnittpunkte $f(x) = g(x)$: $$ x^2 + 5x + 4 = 0.5x + 1 $$ $$ x^2 + 5x + 4 - 0.5x - 1 = 0 $$ $$ x^2 + 4.5x + 3 = 0 $$ Diskriminante: $$ \Delta = 4.5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 20.25 - 12 = 8.25 $$ $$ \sqrt{8.25} \approx 2.87 $$ $$ x = \frac{-4.5 \pm 2.87}{2} $$ $$ x_1 = \frac{-4.5 + 2.87}{2} = -0.815, \quad x_2 = \frac{-4.5 - 2.87}{2} = -3.685 $$ Berechnung der y-Werte: $$ y_1 = 0.5 \cdot (-0.815) + 1 = 0.5925 $$ $$ y_2 = 0.5 \cdot (-3.685) + 1 = -0.8425 $$ Schnittpunkte: $$ S_1(-0.815 | 0.593), \quad S_2(-3.685 | -0.843) $$ 7. **Aufgabe 12: Flugkurve Speerwurf** $f(x) = h(x) = -0.02x^2 + 0.8x + 1.8$ **a)** Bedeutung von $h(0)$: $$ h(0) = -0.02 \cdot 0^2 + 0.8 \cdot 0 + 1.8 = 1.8 $$ Das ist die Anfangshöhe des Speers beim Abwurf, also 1.8 Meter. **b)** Flugweite (Nullstelle rechts): Setze $h(x) = 0$ $$ -0.02x^2 + 0.8x + 1.8 = 0 $$ Multipliziere mit $-50$ zur Vereinfachung: $$ x^2 - 40x - 90 = 0 $$ Diskriminante: $$ \Delta = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1600 + 360 = 1960 $$ $$ \sqrt{1960} \approx 44.27 $$ Lösungen: $$ x = \frac{40 \pm 44.27}{2} $$ Positive Lösung: $$ x = \frac{40 + 44.27}{2} = 42.14 $$ Der Speer fliegt ca. 42.14 Meter weit. **c)** Höchster Punkt (Scheitelpunkt): Scheitelpunkt $x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.8}{2 \cdot (-0.02)} = 20$ Höhe: $$ h(20) = -0.02 \cdot 20^2 + 0.8 \cdot 20 + 1.8 = -0.02 \cdot 400 + 16 + 1.8 = -8 + 16 + 1.8 = 9.8 $$ Der Speer erreicht eine maximale Höhe von 9.8 Metern.