1. Beseitige die Klammern und fasse so weit wie möglich zusammen: 1.a) $(a-b) - (a+b) - (b-a)$ Entferne die Klammern mit Vorzeichen: $$a - b - a - b - b + a$$ Fasse zusammen: $$\cancel{a} - b - \cancel{a} - b - b + a = a - 3b$$ 1.b) $(7x-3y) - (11x-7y)$ Entferne Klammern: $$7x - 3y - 11x + 7y$$ Fasse zusammen: $$7x - 11x - 3y + 7y = -4x + 4y$$ 1.c) $3x + 4 - (2 - x)$ Entferne Klammern: $$3x + 4 - 2 + x$$ Fasse zusammen: $$3x + x + 4 - 2 = 4x + 2$$ 1.d) $(-2,5) \cdot x + \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$ Multipliziere aus: $$-2.5x + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$ Fasse zusammen: $$\left(-2.5 + \frac{1}{2}\right)x - \frac{3}{2} = -2x - 1.5$$ 2. Wende die binomischen Formeln an: 2.a) $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 2.b) $(5x - y)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot y + y^2 = 25x^2 - 10xy + y^2$ 2.c) $(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$ 2.d) $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$ (Differenz zweier Quadrate) 2.e) $(0.1x + 0.01y)^2 = (0.1x)^2 + 2 \cdot 0.1x \cdot 0.01y + (0.01y)^2 = 0.01x^2 + 0.002xy + 0.0001y^2$ 2.f) $\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{2}y + \left(\frac{1}{2}y\right)^2 = \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{3}xy + \frac{1}{4}y^2$ 2.g) $(a^2 + 4b^2)(a^2 - 4b^2) = a^4 - (4b^2)^2 = a^4 - 16b^4$ 2.h) $(-3 - a)^2 = (-1)^2 (3 + a)^2 = (3 + a)^2 = 9 + 6a + a^2$ 2.i) $(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ 3. Forme mit Hilfe der binomischen Formeln in ein Produkt um: 3.a) $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$ 3.b) $16u^2 - 25v^2 = (4u - 5v)(4u + 5v)$ 3.c) $0.25x^2 + xy + y^2 = \left(0.5x + y\right)^2$ 4. Klammere aus: 4.a) $7x + 7y = 7(x + y)$ 4.b) $3xv - 6v^2 = 3v(x - 2v)$ 4.c) $a^2 - ab = a(a - b)$ 4.d) $17xyz + 34zv = 17z(xy + 2v)$ 4.e) $121r + 88rs = 11r(11 + 8s)$ 4.f) $19x^2 - 57x = 19x(x - 3)$ 4.g) $8a - 24b = 8(a - 3b)$ 4.h) $36xy - 42y = 6y(6x - 7)$ 5. Forme die Summen- und Differenzterme mit Hilfe der binomischen Formeln in Produktterme um: 5.a) $\frac{1}{9}m^2 - \frac{4}{9}n^2 = \left(\frac{1}{3}m - \frac{2}{3}n\right)\left(\frac{1}{3}m + \frac{2}{3}n\right)$ 5.b) $4u^2 + 12uv + 9v^2 = (2u + 3v)^2$ 6. Klammere zuerst einen gemeinsamen Faktor aus und wandle dann um: 6.a) $3x^2y - 6xy^2 + 3y^3 = 3y(x^2 - 2xy + y^2) = 3y(x - y)^2$ 6.b) $5a^6 - 75b^4 = 5(a^6 - 15b^4)$ (kann nicht weiter faktorisieren ohne komplexe Zahlen) 7. Zerlege in Linearfaktoren: 7.a) $x^2 - 7x + 10$ Finde Faktoren von 10, die 7 ergeben: 5 und 2 $$x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$$ 7.b) $x^2 - 4x + 3$ Faktoren von 3, die 4 ergeben: 3 und 1 $$x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)$$ 7.c) $x^2 + 2x - 15$ Faktoren von -15, die 2 ergeben: 5 und -3 $$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$$ 7.d) $a^2 - 13a - 30$ Faktoren von -30, die -13 ergeben: -15 und 2 $$a^2 - 13a - 30 = (a - 15)(a + 2)$$