1. **تمرين 1** **المعطيات:** - $a = (6^x \cdot 4x \cdot 5x)(3^{20})$ - $b = \left(\frac{1064}{2064}\right) \times \left(\frac{1064}{1962}\right) \times (-t^8)^x \times 10x \times 28^3$ - $c = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}}$ - $d = -3.172$ **1) اكتب $a$ على شكل كسري غير قابل للاختزال:** - نلاحظ أن $a$ عبارة عن حاصل ضرب عدة عوامل. - نكتب $a$ بشكل مبسط: $$a = (6^x \cdot 4x \cdot 5x)(3^{20}) = 6^x \cdot 20x^2 \cdot 3^{20}$$ - لا يمكن تبسيط هذا التعبير أكثر بدون معرفة قيمة $x$. - إذا كان المطلوب هو كتابة $a$ ككسر غير قابل للاختزال، يجب معرفة قيم $x$ و $x$ في العوامل. **2) بين أن العدد $b$ هو عدد طبيعي:** - نعيد كتابة $b$: $$b = \left(\frac{1064}{2064}\right) \times \left(\frac{1064}{1962}\right) \times (-t^8)^x \times 10x \times 28^3$$ - نلاحظ أن الكسور يمكن تبسيطها: - $\frac{1064}{2064} = \frac{1064 \div 8}{2064 \div 8} = \frac{133}{258}$ - $\frac{1064}{1962} = \frac{1064 \div 2}{1962 \div 2} = \frac{532}{981}$ - إذا كانت قيم $x$ و $t$ و $x$ أعداد صحيحة مناسبة، فإن حاصل الضرب سيكون عددًا طبيعيًا. - بدون قيم محددة، لا يمكن إثبات ذلك بدقة. **3) بين أن $c = \sqrt{3 + \sqrt{2}}$:** - نبدأ من تعريف $c$: $$c = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}}$$ - نضرب البسط والمقام في المرافق $3 + \sqrt{2}$: $$c = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{2})^2}{(3)^2 - (\sqrt{2})^2}} = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{2})^2}{9 - 2}} = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{2})^2}{7}}$$ - إذن: $$c = \frac{3 + \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$$ - لكن المطلوب إثبات أن $c = \sqrt{3 + \sqrt{2}}$، وهذا غير صحيح حسب الحساب. - ربما هناك خطأ في المعطى أو المطلوب. **4) أعد التكرار الكسري للعدد $d = -3.172$:** - نكتب العدد كسراً عشرياً: $$-3.172 = -\left(3 + 0.172\right)$$ - نكتب الجزء العشري ككسر: $$0.172 = \frac{172}{1000} = \frac{43}{250}$$ - إذن: $$d = -\left(3 + \frac{43}{250}\right) = -\frac{3 \times 250 + 43}{250} = -\frac{793}{250}$$ - نبدأ التكرار الكسري للعدد $\frac{793}{250}$: 1. $793 \div 250 = 3$ والباقي $43$ 2. نأخذ مقلوب الباقي: $\frac{250}{43}$ 3. $250 \div 43 = 5$ والباقي $35$ 4. مقلوب الباقي: $\frac{43}{35}$ 5. $43 \div 35 = 1$ والباقي $8$ 6. مقلوب الباقي: $\frac{35}{8}$ 7. $35 \div 8 = 4$ والباقي $3$ 8. مقلوب الباقي: $\frac{8}{3}$ 9. $8 \div 3 = 2$ والباقي $2$ 10. مقلوب الباقي: $\frac{3}{2}$ 11. $3 \div 2 = 1$ والباقي $1$ 12. مقلوب الباقي: $\frac{2}{1}$ 13. $2 \div 1 = 2$ والباقي $0$ - إذن التكرار الكسري للعدد $d$ هو: $$d = -[3;5,1,4,2,1,2]$$ --- 2. **تمرين 2** - $A = 1964 \times 10^{-3}$ - $B = -37.14$ (م6 غير واضحة، نفترض أنها وحدة) **1) عبر عن العدد $10^{-3}$:** - $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ **2) عبر عن $B = -37.16$ م ثم عبر عنه معبراً:** - العدد $B$ هو عدد سالب، يمكن كتابته في صورة علمية. **3) اكتب $A$ و $B$ في الشكل العلمي:** - $A = 1964 \times 10^{-3} = 1.964 \times 10^{3} \times 10^{-3} = 1.964 \times 10^{0} = 1.964$ - $B = -37.14 = -3.714 \times 10^{1}$ --- 3. **تمرين 3** **1) الحقل $a$ هو عدد حقيقي:** - هذا تعريف، لا يحتاج برهان. **2) برهن أن مقلوب $\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}$ هو الجذر التربيعي لـ $(a - 1)$:** - نريد إثبات: $$\frac{1}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}} = \sqrt{a - 1}$$ - نضرب البسط والمقام في المرافق: $$\frac{1}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}} \times \frac{\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}} = \frac{\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}}{(a + 1) - (a - 1)} = \frac{\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}}{2}$$ - هذا لا يساوي $\sqrt{a - 1}$، إذن المعادلة غير صحيحة. - ربما المطلوب هو إثبات شيء آخر أو هناك خطأ في الصياغة.