1. Probleem a: Los algebraïsch op: $$9^{3x-12} = 1^{x+10}$$ - We weten dat $$1^{x+10} = 1$$ voor alle $$x$$. - Dus de vergelijking wordt $$9^{3x-12} = 1$$. - Omdat $$9 = 3^2$$, herschrijven we: $$\left(3^2\right)^{3x-12} = 1$$. - Dit wordt $$3^{2(3x-12)} = 1$$. - Omdat $$3^0 = 1$$, moet de exponent nul zijn: $$2(3x-12) = 0$$. - Oplossen: $$6x - 24 = 0$$. - $$6x = 24$$. - $$x = \cancel{\frac{6x}{6}}{\frac{24}{6}} = 4$$. 2. Probleem b: Los algebraïsch op: $$-x - \sqrt{3x+4} = 0$$ - Breng $$-x$$ naar de andere kant: $$-\sqrt{3x+4} = x$$ wordt $$\sqrt{3x+4} = -x$$. - Omdat $$\sqrt{3x+4} \geq 0$$, moet $$-x \geq 0$$, dus $$x \leq 0$$. - Kwadrateer beide kanten: $$\left(\sqrt{3x+4}\right)^2 = (-x)^2$$. - Dit geeft: $$3x + 4 = x^2$$. - Breng alles naar één kant: $$x^2 - 3x - 4 = 0$$. - Factoriseer: $$(x - 4)(x + 1) = 0$$. - Oplossingen: $$x = 4$$ of $$x = -1$$. - Controleer de voorwaarden: $$x \leq 0$$, dus $$x = 4$$ is niet geldig. - Dus $$x = -1$$ is de enige oplossing. 3. Probleem c: Schrijf als één logaritme: $$^3\log(y^{2\log(3)}) + 3 \cdot ^2\log(xy) - ^4\log(y)$$ - Gebruik de machtregel: $$^3\log(y^{2\log(3)}) = 2\log(3) \cdot ^3\log(y)$$. - Schrijf $$3 \cdot ^2\log(xy) = ^2\log((xy)^3)$$. - Nu hebben we: $$2\log(3) \cdot ^3\log(y) + ^2\log((xy)^3) - ^4\log(y)$$. - Om samen te voegen, herschrijf alle logaritmes naar dezelfde grondtal of gebruik verandering van grondtal formule. - Gebruik verandering van grondtal: $$^a\log(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$ met $$\log$$ als natuurlijke log of log basis 10. - Dus: $$2\log(3) \cdot \frac{\log(y)}{\log(3)} + \frac{\log((xy)^3)}{\log(2)} - \frac{\log(y)}{\log(4)}$$ - Vereenvoudig eerste term: $$2\log(3) \cdot \frac{\log(y)}{\log(3)} = 2\log(y)$$. - Nu: $$2\log(y) + \frac{3\log(xy)}{\log(2)} - \frac{\log(y)}{\log(4)}$$ - Schrijf $$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$$: $$2\log(y) + \frac{3(\log(x) + \log(y))}{\log(2)} - \frac{\log(y)}{\log(4)}$$ - Groepeer termen met $$\log(y)$$: $$2\log(y) + \frac{3\log(y)}{\log(2)} - \frac{\log(y)}{\log(4)} + \frac{3\log(x)}{\log(2)}$$ - Dit is: $$\log(y) \left(2 + \frac{3}{\log(2)} - \frac{1}{\log(4)}\right) + \frac{3\log(x)}{\log(2)}$$ - Dit is de som van logaritmen, dus als één logaritme: $$\log\left(y^{2 + \frac{3}{\log(2)} - \frac{1}{\log(4)}} \cdot x^{\frac{3}{\log(2)}}\right)$$ Antwoorden: - a) $$x = 4$$ - b) $$x = -1$$ - c) $$\log\left(y^{2 + \frac{3}{\log(2)} - \frac{1}{\log(4)}} \cdot x^{\frac{3}{\log(2)}}\right)$$