1) نُعطى: $$a = \frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7}, \quad b = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{9}$$ نريد إثبات أن $a$ و $b$ متقابلان، أي أن: $$a \times b < 0$$ 2) نبدأ بحساب حاصل الضرب: $$a \times b = \left(\frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7}\right) \times \left(\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{9}\right) = \frac{(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5})(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{63}$$ 3) نوسّع البسط: $$ (4\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})(\sqrt{5}) - (2\sqrt{5})(2\sqrt{3}) - (2\sqrt{5})(\sqrt{5}) $$ $$= 8 \times 3 + 4\sqrt{15} - 4\sqrt{15} - 2 \times 5 = 24 + 0 - 10 = 14$$ 4) إذن: $$a \times b = \frac{14}{63} = \frac{2}{9} > 0$$ هذا يعني أن $a$ و $b$ ليسا متقابلين (الضرب موجب)، إذن هناك خطأ في الفرضية أو المطلوب هو مقارنة أخرى. 5) ننتقل إلى مقارنة $4\sqrt{3}$ و $2\sqrt{5}$: نحسب القيم التقريبية: $$4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928$$ $$2\sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472$$ إذاً: $$4\sqrt{3} > 2\sqrt{5}$$ 6) الجزء 2) أ) إثبات أن $b < a$: نحسب الفرق: $$a - b = \frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7} - \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{9} = \frac{9(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) - 7(2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{63}$$ 7) نوسّع البسط: $$36\sqrt{3} - 18\sqrt{5} - 14\sqrt{3} - 7\sqrt{5} = (36\sqrt{3} - 14\sqrt{3}) + (-18\sqrt{5} - 7\sqrt{5}) = 22\sqrt{3} - 25\sqrt{5}$$ 8) نُقارن $22\sqrt{3}$ و $25\sqrt{5}$: تقريبياً: $$22 \times 1.732 = 38.104$$ $$25 \times 2.236 = 55.9$$ إذًا: $$22\sqrt{3} - 25\sqrt{5} < 0$$ وبالتالي: $$a - b < 0 \Rightarrow b > a$$ لكن المطلوب إثبات $b < a$، إذن هناك تناقض مع القيم التقريبية، ربما خطأ في المعطيات أو المطلوب. 9) الجزء 2) ب) إثبات أن: $$1 < b^2 < a^2$$ نحسب $a^2$ و $b^2$: $$a^2 = \left(\frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7}\right)^2 = \frac{(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5})^2}{49}$$ $$b^2 = \left(\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{9}\right)^2 = \frac{(2\sqrt{3} + \sqrt{5})^2}{81}$$ 10) نوسّع البسطين: $$ (4\sqrt{3} - 2\sqrt{5})^2 = (4\sqrt{3})^2 - 2 \times 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 16 \times 3 - 16 \sqrt{15} + 4 \times 5 = 48 - 16\sqrt{15} + 20 = 68 - 16\sqrt{15} $$ $$ (2\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 \times 3 + 4\sqrt{15} + 5 = 12 + 4\sqrt{15} + 5 = 17 + 4\sqrt{15} $$ 11) إذن: $$a^2 = \frac{68 - 16\sqrt{15}}{49}, \quad b^2 = \frac{17 + 4\sqrt{15}}{81}$$ 12) نُقارن $b^2$ مع 1: $$b^2 - 1 = \frac{17 + 4\sqrt{15}}{81} - 1 = \frac{17 + 4\sqrt{15} - 81}{81} = \frac{-64 + 4\sqrt{15}}{81}$$ تقريباً: $$4\sqrt{15} \approx 4 \times 3.873 = 15.492$$ إذاً: $$-64 + 15.492 = -48.508 < 0$$ وبالتالي: $$b^2 < 1$$ 13) نُقارن $a^2$ مع 1: $$a^2 - 1 = \frac{68 - 16\sqrt{15}}{49} - 1 = \frac{68 - 16\sqrt{15} - 49}{49} = \frac{19 - 16\sqrt{15}}{49}$$ تقريباً: $$16\sqrt{15} \approx 16 \times 3.873 = 61.968$$ إذاً: $$19 - 61.968 = -42.968 < 0$$ وبالتالي: $$a^2 < 1$$ 14) إذن: $$b^2 < 1, \quad a^2 < 1$$ وهذا يتناقض مع المطلوب $1 < b^2 < a^2$. 15) الجزء 2) ج) استنتاج: $$ (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1 < 0, \quad (b - 1)(b + 1) = b^2 - 1 < 0 $$ 16) الجزء 3) نُعطى: $$c = - \frac{19\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{7}$$ أ) إثبات أن $a + 3\sqrt{5}$ و $c$ متقابلان: نحسب حاصل الضرب: $$ (a + 3\sqrt{5}) \times c = \left(\frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7} + 3\sqrt{5}\right) \times \left(- \frac{19\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{7}\right) $$ 17) نبسط التعبير داخل القوس الأول: $$ \frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7} + 3\sqrt{5} = \frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 21\sqrt{5}}{7} = \frac{4\sqrt{3} + 19\sqrt{5}}{7} $$ 18) إذن: $$ (a + 3\sqrt{5}) \times c = \frac{4\sqrt{3} + 19\sqrt{5}}{7} \times \left(- \frac{19\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{7}\right) = - \frac{(4\sqrt{3} + 19\sqrt{5})(19\sqrt{5} + 4\sqrt{3})}{49} $$ 19) نوسّع البسط: $$4\sqrt{3} \times 19\sqrt{5} + 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} + 19\sqrt{5} \times 19\sqrt{5} + 19\sqrt{5} \times 4\sqrt{3}$$ $$= 76\sqrt{15} + 16 \times 3 + 361 \times 5 + 76\sqrt{15} = 76\sqrt{15} + 48 + 1805 + 76\sqrt{15} = 96\sqrt{15} + 1853$$ 20) إذن: $$ (a + 3\sqrt{5}) \times c = - \frac{96\sqrt{15} + 1853}{49} < 0 $$ وبالتالي هما متقابلان. 21) ب) إثبات أن: $$1 = \frac{-1 - bc}{3\sqrt{5}b}$$ نحسب $bc$: $$b \times c = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{9} \times \left(- \frac{19\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{7}\right) = - \frac{(2\sqrt{3} + \sqrt{5})(19\sqrt{5} + 4\sqrt{3})}{63}$$ 22) نوسّع البسط: $$2\sqrt{3} \times 19\sqrt{5} + 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} + \sqrt{5} \times 19\sqrt{5} + \sqrt{5} \times 4\sqrt{3}$$ $$= 38\sqrt{15} + 8 \times 3 + 19 \times 5 + 4\sqrt{15} = 38\sqrt{15} + 24 + 95 + 4\sqrt{15} = 42\sqrt{15} + 119$$ 23) إذن: $$bc = - \frac{42\sqrt{15} + 119}{63}$$ 24) نحسب التعبير: $$\frac{-1 - bc}{3\sqrt{5}b} = \frac{-1 + \frac{42\sqrt{15} + 119}{63}}{3\sqrt{5} \times \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{5}}{9}} = \frac{-1 + \frac{42\sqrt{15} + 119}{63}}{\frac{3\sqrt{5} (2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{9}}$$ 25) نبسط البسط: $$-1 + \frac{42\sqrt{15} + 119}{63} = \frac{-63 + 42\sqrt{15} + 119}{63} = \frac{56 + 42\sqrt{15}}{63}$$ 26) نبسط المقام: $$\frac{3\sqrt{5} (2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{9} = \frac{3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{9} = \frac{6\sqrt{15} + 15}{9}$$ 27) إذن التعبير: $$\frac{\frac{56 + 42\sqrt{15}}{63}}{\frac{6\sqrt{15} + 15}{9}} = \frac{56 + 42\sqrt{15}}{63} \times \frac{9}{6\sqrt{15} + 15} = \frac{(56 + 42\sqrt{15}) \times 9}{63 (6\sqrt{15} + 15)}$$ 28) نبسط الكسور: $$\frac{9}{63} = \frac{1}{7}$$ 29) إذن: $$\frac{56 + 42\sqrt{15}}{7 (6\sqrt{15} + 15)} = \frac{8 + 6\sqrt{15}}{6\sqrt{15} + 15}$$ 30) نضرب البسط والمقام في المرافق: $$\frac{8 + 6\sqrt{15}}{6\sqrt{15} + 15} \times \frac{15 - 6\sqrt{15}}{15 - 6\sqrt{15}} = \frac{(8 + 6\sqrt{15})(15 - 6\sqrt{15})}{15^2 - (6\sqrt{15})^2}$$ 31) نوسّع البسط: $$8 \times 15 - 8 \times 6\sqrt{15} + 6\sqrt{15} \times 15 - 6\sqrt{15} \times 6\sqrt{15} = 120 - 48\sqrt{15} + 90\sqrt{15} - 216$$ $$= (120 - 216) + (90\sqrt{15} - 48\sqrt{15}) = -96 + 42\sqrt{15}$$ 32) نحسب المقام: $$225 - 36 \times 15 = 225 - 540 = -315$$ 33) إذن التعبير: $$\frac{-96 + 42\sqrt{15}}{-315} = \frac{96 - 42\sqrt{15}}{315}$$ 34) تقريباً: $$42\sqrt{15} \approx 42 \times 3.873 = 162.57$$ $$96 - 162.57 = -66.57$$ إذاً: $$\frac{96 - 42\sqrt{15}}{315} \approx \frac{-66.57}{315} = -0.211 < 0$$ 35) هذا لا يساوي 1، إذن هناك خطأ في المعطيات أو المطلوب. 36) استنتاج أن: $$1 + 3\sqrt{5}a + bc$$ نحسب: $$3\sqrt{5}a = 3\sqrt{5} \times \frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{7} = \frac{3\sqrt{5} (4\sqrt{3} - 2\sqrt{5})}{7} = \frac{12\sqrt{15} - 6 \times 5}{7} = \frac{12\sqrt{15} - 30}{7}$$ 37) نضيف 1 و $bc$: $$1 + 3\sqrt{5}a + bc = 1 + \frac{12\sqrt{15} - 30}{7} - \frac{42\sqrt{15} + 119}{63}$$ 38) نجعل المقامات موحدة (63): $$1 = \frac{63}{63}, \quad \frac{12\sqrt{15} - 30}{7} = \frac{9(12\sqrt{15} - 30)}{63} = \frac{108\sqrt{15} - 270}{63}$$ 39) إذن: $$\frac{63}{63} + \frac{108\sqrt{15} - 270}{63} - \frac{42\sqrt{15} + 119}{63} = \frac{63 + 108\sqrt{15} - 270 - 42\sqrt{15} - 119}{63} = \frac{-326 + 66\sqrt{15}}{63}$$ 40) تقريباً: $$66\sqrt{15} \approx 66 \times 3.873 = 255.62$$ $$-326 + 255.62 = -70.38 < 0$$ 41) إذن: $$1 + 3\sqrt{5}a + bc < 0$$ --- الملخص: - $4\sqrt{3} > 2\sqrt{5}$ - $a \times b > 0$ (ليسا متقابلين) - $b^2 < 1$ و $a^2 < 1$ - $(a - 1)(a + 1) < 0$ و $(b - 1)(b + 1) < 0$ - $a + 3\sqrt{5}$ و $c$ متقابلان - $1 + 3\sqrt{5}a + bc < 0$