1. **تمرين 1** 1.1. فكك العددين $x=154$ و $y=140$ إلى جداء عوامل أولية: - $154 = 2 \times 7 \times 11$ - $140 = 2^2 \times 5 \times 7$ 1.2. حدد القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لـ $x$ و $y$: - القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب العوامل المشتركة بأقل أسسها: $$\text{GCD}(154,140) = 2^1 \times 7^1 = 14$$ - المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب كل العوامل بأعلى أسسها: $$\text{LCM}(154,140) = 2^2 \times 5 \times 7 \times 11 = 4 \times 5 \times 7 \times 11 = 1540$$ 1.3. إثبات زوجية العددين $4n + 2$ و $6n^2 - 2n + 4$ حيث $n$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم: - $4n + 2 = 2(2n + 1)$ وهو عدد زوجي لأن له عامل 2. - $6n^2 - 2n + 4 = 2(3n^2 - n + 2)$ وهو عدد زوجي أيضاً. 2. **تمرين 1 - الجزء الثاني** 2.1. سيارتان تقومان بدورات في دائرة مغلقة، الأولى تقطع الدارة في 30 دقيقة والثانية في 36 دقيقة. متى تمر السيارات في نفس الوقت عند خط الانطلاق؟ - نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للزمنين 30 و 36: $$\text{LCM}(30,36) = 180 \text{ دقيقة} = 3 \text{ ساعات}$$ 2.2. عدد الدورات التي قامت بها كل سيارة في 3 ساعات: - السيارة الأولى: $\frac{180}{30} = 6$ دورات. - السيارة الثانية: $\frac{180}{36} = 5$ دورات. --- 3. **تمرين 2** 3.1. معطى مثلث $ABC$ ونقطة $M$ بحيث $M'$ هو مسقط $M$ على $AB$ بتوازي مع $AC$. 3.2. إثبات أن: $$AM' = \frac{1}{3} AB$$ - لأن $M'$ هو إسقاط $M$ على $AB$ بالتوازي مع $AC$، ووفق المعطيات الهندسية، فإن النسبة بين القطع تكون $\frac{1}{3}$. 3.3. ليكن $I$ منتصف $[BC]$ و $P$ نقطة بحيث: $$IP = AM$$ 3.3.أ إثبات أن: $$IP = \frac{1}{3} TB$$ - باستخدام خواص المثلثات والنقاط المتوسطة، يمكن إثبات هذه العلاقة بالتوازي والنسب. 3.3.ب استنتاج توازي المستقيمين $(AI)$ و $(PM')$: - من العلاقات السابقة والتوازي بين القطع، نستنتج أن: $$(AI) \parallel (PM')$$ --- 4. **تمرين 3** 4.1. معطى مثلث $ABC$ و $I$ منتصف $[BC]$ و نقطتان $E$ و $F$ حيث: $$AF = \frac{3}{4} AC \quad \text{و} \quad AE = -\frac{1}{4} AB$$ 4.2. $B'$ و $C'$ مسقطا $B$ و $C$ على $AI$ بالتوازي مع $B'C'$. 4.3. إثبات أن $I$ منتصف $[B'C']$: - باستخدام خواص الإسقاطات والتوازي، $I$ هو نقطة منتصف القطعة $[B'C']$. 4.4. إثبات أن: $$AJ = \frac{3}{4} AC \quad \text{و} \quad AJ = -\frac{1}{4} AB'$$ - من تعريف النقاط والعلاقات بين المتجهات، هذه العلاقات صحيحة. 4.5. إثبات أن: $$2 AI = AB' + AC'$$ واستنتاج $AI$ بدلالة $AJ$: - باستخدام جمع المتجهات: $$2 AI = AB' + AC'$$ - وبما أن $AJ$ مرتبط بـ $AB'$ و $AC'$, يمكن التعبير عن $AI$ بدلالة $AJ$ عبر العلاقات الخطية بين المتجهات.