1. Planteamos el problema: Una agencia inmobiliaria tiene 40 apartamentos. Alquiler actual es 270 por apartamento y todos están ocupados. 2. Por cada aumento de 20 en el alquiler, se pierde 1 apartamento ocupado (vacante). 3. Definimos variables: - Sea $x$ el número de incrementos de 20 en el alquiler. - Entonces, el alquiler por apartamento es $270 + 20x$. - El número de apartamentos ocupados es $40 - x$. 4. Calculamos ingresos totales: $$\text{Ingresos} = (270 + 20x)(40 - x)$$ 5. Calculamos costos totales: - Cada apartamento ocupado cuesta 10 en conservación y servicios. $$\text{Costos} = 10(40 - x)$$ 6. Calculamos beneficio total: $$\text{Beneficio} = \text{Ingresos} - \text{Costos} = (270 + 20x)(40 - x) - 10(40 - x)$$ 7. Expandimos y simplificamos: $$\text{Beneficio} = (270 + 20x)(40 - x) - 10(40 - x)$$ $$= (270)(40 - x) + 20x(40 - x) - 10(40 - x)$$ $$= 10800 - 270x + 800x - 20x^2 - 400 + 10x$$ $$= (10800 - 400) + (-270x + 800x + 10x) - 20x^2$$ $$= 10400 + 540x - 20x^2$$ 8. La función beneficio es: $$B(x) = -20x^2 + 540x + 10400$$ 9. Para maximizar el beneficio, derivamos y igualamos a cero: $$B'(x) = -40x + 540 = 0$$ 10. Resolviendo para $x$: $$-40x + 540 = 0$$ $$-40x = -540$$ $$x = \frac{540}{40} = 13.5$$ 11. Verificamos que es máximo con la segunda derivada: $$B''(x) = -40 < 0$$ Por lo tanto, es un máximo. 12. Calculamos el alquiler óptimo: $$\text{Alquiler óptimo} = 270 + 20 \times 13.5 = 270 + 270 = 540$$ 13. Respuesta final: El alquiler que debe cobrarse para obtener el beneficio máximo es 540 mensuales.