1. **بيان المسألة:** لدالتين $f$ و $g$ تمثلان بيانياً في المستوى المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس $(O; \vec{i}, \vec{j})$. المطلوب: - تحديد مجموعتي تعريف الدالتين $D_f$ و $D_g$. - حساب قيم $f(-5)$، $f(-3)$، $g(-4)$، $g(2)$، $f(0)$، $g(-1)$. - إيجاد السوابق الممكنة للعدد 4 بالنسبة لـ $f$. - إيجاد السوابق الممكنة للعدد 0 بالنسبة لـ $g$. - حل بيانياً المعادلات والمتراجحات: $f(x) = 1$, $g(x) = 3$, $g(x) = f(x)$, $g(x) \geq 0$, $f(x) < 0$, $g(x) \geq f(x)$. - رسم جدول التغيرات وجدول الإشارة لكل من $f$ و $g$. - تحديد القيمة الحدية الصغرى لـ $f$ والحدية العظمى لـ $g$. 2. **مجموعتا التعريف $D_f$ و $D_g$:** من الرسم البياني، نلاحظ أن كلا الدالتين معرفتين على الفترة التي يظهران فيها على محور $x$. - $D_f = [-7, 3]$ تقريباً (نطاق $x$ حيث توجد الدالة $f$). - $D_g = [-7, 3]$ تقريباً (نطاق $x$ حيث توجد الدالة $g$). 3. **حساب القيم المطلوبة:** - $f(-5)$: من الرسم، عند $x=-5$، قيمة $f$ تقريبا $4$. - $f(-3)$: عند $x=-3$، رأس القطع المكافئ $f$، القيمة $0$. - $g(-4)$: عند $x=-4$، قيمة $g$ تقريبا $0$. - $g(2)$: عند $x=2$, قيمة $g$ تقريبا $0$. - $f(0)$: عند $x=0$, قيمة $f$ تقريبا $5$. - $g(-1)$: عند $x=-1$, قيمة $g$ تقريبا $3$. 4. **السوابق الممكنة للعدد 4 بالنسبة لـ $f$:** نبحث عن قيم $x$ حيث $f(x) = 4$. من الرسم، $f(x) = 4$ عند $x \approx -5$ و $x \approx -1$. 5. **السوابق الممكنة للعدد 0 بالنسبة لـ $g$:** نبحث عن قيم $x$ حيث $g(x) = 0$. من الرسم، $g(x) = 0$ عند $x \approx -4$ و $x \approx 2$. 6. **حل المعادلات والمتراجحات بيانياً:** - $f(x) = 1$: نقاط تقاطع منحنى $f$ مع الخط $y=1$ تقع تقريبا عند $x \approx -4$ و $x \approx -2$. - $g(x) = 3$: نقاط تقاطع منحنى $g$ مع الخط $y=3$ تقع تقريبا عند $x \approx -1$ و $x \approx 1$. - $g(x) = f(x)$: نقاط تقاطع المنحنيين تقع تقريبا عند $x \approx -3.5$ و $x \approx 1$. - $g(x) \geq 0$: الفترة التي يكون فيها منحنى $g$ فوق أو على محور $x$ هي تقريباً $[-4, 2]$. - $f(x) < 0$: الفترة التي يكون فيها منحنى $f$ تحت محور $x$ هي تقريباً $(-3, -1)$. - $g(x) \geq f(x)$: الفترة التي يكون فيها منحنى $g$ فوق أو يساوي $f$ هي تقريباً $[-7, -3.5] \cup [1, 3]$. 7. **جدول التغيرات:** - $f$ دالة قطع مكافئ تفتح للأعلى، لها قيمة حدية صغرى عند الرأس $x=-3$ حيث $f(-3)=0$. - $g$ دالة قطع مكافئ تفتح للأسفل، لها قيمة حدية عظمى عند الرأس $x=0.5$ حيث $g(0.5) \approx 4$. 8. **جدول الإشارة:** - $f(x)$: - سالب في الفترة $(-3, -1)$. - موجب في باقي المجال. - $g(x)$: - موجب في الفترة $[-4, 2]$. - سالب خارج هذه الفترة. 9. **القيم الحدية:** - القيمة الحدية الصغرى لـ $f$ هي $0$ عند $x=-3$. - القيمة الحدية العظمى لـ $g$ هي $4$ عند $x=0.5$. **النتائج النهائية:** - $D_f = [-7, 3]$, $D_g = [-7, 3]$. - $f(-5) = 4$, $f(-3) = 0$, $g(-4) = 0$, $g(2) = 0$, $f(0) = 5$, $g(-1) = 3$. - السوابق لـ 4 في $f$: $x \approx -5, -1$. - السوابق لـ 0 في $g$: $x \approx -4, 2$. - حلول المعادلات والمتراجحات كما في الخطوة 6. - القيمة الحدية الصغرى لـ $f$ هي $0$ عند $x=-3$. - القيمة الحدية العظمى لـ $g$ هي $4$ عند $x=0.5$.