1. Planteamiento del problema: Se desea diseñar un protector de cartón para una barra de mantequilla con las siguientes dimensiones: - Espesor fijo: 1.5 cm - Ancho variable: $x$ cm, con $4 \leq x \leq 6$ - Largo: $3x - 4$ cm Se busca modelar el área del cartón necesario para el protector en función del ancho $x$. 2. Definición de la función área: El protector es una caja sin tapa que cubre la barra. Su área total de cartón incluye: - Área de la base: $x \times (3x - 4)$ - Área de las dos lados de espesor 1.5 cm y largo $3x - 4$: $2 \times 1.5 \times (3x - 4)$ - Área de los otros dos lados de espesor 1.5 cm y ancho $x$: $2 \times 1.5 \times x$ Por lo tanto, el área total $A(x)$ es: $$ A(x) = x(3x - 4) + 2 \times 1.5 (3x - 4) + 2 \times 1.5 x $$ 3. Simplificación de la función: $$ A(x) = 3x^2 - 4x + 3(3x - 4) + 3x $$ $$ A(x) = 3x^2 - 4x + 9x - 12 + 3x $$ $$ A(x) = 3x^2 + 8x - 12 $$ 4. Dominio: $$ 4 \leq x \leq 6 $$ 5. Para encontrar el mínimo de $A(x)$ en el dominio dado, derivamos: $$ A'(x) = 6x + 8 $$ Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $$ 6x + 8 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $$ Este valor no está en el dominio $[4,6]$, por lo que el mínimo estará en los extremos del dominio. 6. Evaluamos $A(x)$ en los extremos: $$ A(4) = 3(4)^2 + 8(4) - 12 = 3(16) + 32 - 12 = 48 + 32 - 12 = 68 $$ $$ A(6) = 3(6)^2 + 8(6) - 12 = 3(36) + 48 - 12 = 108 + 48 - 12 = 144 $$ 7. Conclusión: El área mínima de cartón se obtiene para $x=4$ cm y es $68$ cm$^2$.