1. Planteamos el problema: hallar el área menor encerrada por las curvas dadas: $$x^2 - y = 0 \implies y = x^2$$ $$8 - x^2 = y$$ $$3 = y - x^2 \implies y = x^2 + 3$$ 2. Identificamos las curvas: - Curva 1: $y = x^2$ - Curva 2: $y = 8 - x^2$ - Curva 3: $y = x^2 + 3$ 3. Encontramos los puntos de intersección entre las curvas para determinar los límites de integración. Intersección entre Curva 1 y Curva 3: $$x^2 = x^2 + 3 \implies 0 = 3$$ No hay solución, por lo que no se intersectan. Intersección entre Curva 1 y Curva 2: $$x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Puntos: $(-2,4)$ y $(2,4)$ Intersección entre Curva 2 y Curva 3: $$8 - x^2 = x^2 + 3 \implies 8 - 3 = 2x^2 \implies 5 = 2x^2 \implies x^2 = \frac{5}{2}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$$ Puntos: $\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}, 8 - \frac{5}{2}\right)$ y $\left(\sqrt{\frac{5}{2}}, 8 - \frac{5}{2}\right)$ 4. Observamos que la región encerrada menor está entre las curvas 1 y 3, y 3 y 2, formando un área encerrada entre $x = -\sqrt{\frac{5}{2}}$ y $x = \sqrt{\frac{5}{2}}$. 5. El área menor encerrada se calcula como la suma de las áreas entre las curvas: $$A = \int_{-\sqrt{\frac{5}{2}}}^{\sqrt{\frac{5}{2}}} \left[(8 - x^2) - (x^2 + 3)\right] dx + \int_{-2}^{-\sqrt{\frac{5}{2}}} \left[(x^2 + 3) - x^2\right] dx + \int_{\sqrt{\frac{5}{2}}}^{2} \left[(x^2 + 3) - x^2\right] dx$$ Simplificamos las integrales: $$A = \int_{-\sqrt{\frac{5}{2}}}^{\sqrt{\frac{5}{2}}} (8 - x^2 - x^2 - 3) dx + 2 \int_{\sqrt{\frac{5}{2}}}^{2} 3 dx$$ $$A = \int_{-\sqrt{\frac{5}{2}}}^{\sqrt{\frac{5}{2}}} (5 - 2x^2) dx + 2 \times 3 \left(2 - \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$$ 6. Calculamos la primera integral: $$\int (5 - 2x^2) dx = 5x - \frac{2x^3}{3}$$ Evaluamos en los límites: $$\left[5x - \frac{2x^3}{3}\right]_{-\sqrt{\frac{5}{2}}}^{\sqrt{\frac{5}{2}}} = \left(5\sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^3\right) - \left(-5\sqrt{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^3\right)$$ Como la función es par, podemos usar: $$2 \left(5\sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^3\right)$$ Calculamos $\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^{3/2} = \frac{5\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}$. Entonces: $$2 \left(5\sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} \times \frac{5\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}\right) = 2 \left(5\sqrt{\frac{5}{2}} - \frac{5}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}\right) = 2 \times \frac{10}{3} \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{20}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}$$ 7. Calculamos la segunda parte: $$2 \times 3 \left(2 - \sqrt{\frac{5}{2}}\right) = 6 \left(2 - \sqrt{\frac{5}{2}}\right) = 12 - 6 \sqrt{\frac{5}{2}}$$ 8. Sumamos ambas partes para obtener el área total: $$A = \frac{20}{3} \sqrt{\frac{5}{2}} + 12 - 6 \sqrt{\frac{5}{2}} = 12 + \left(\frac{20}{3} - 6\right) \sqrt{\frac{5}{2}} = 12 - \frac{18}{3} \sqrt{\frac{5}{2}} + \frac{20}{3} \sqrt{\frac{5}{2}} = 12 + \frac{2}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}$$ 9. Resultado final: $$\boxed{A = 12 + \frac{2}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}}$$ Este es el área menor encerrada por las tres curvas.