1. Planteamos el problema: Ryan tiene 360 metros de valla para construir un jardín rectangular. La longitud lateral del jardín es $x$ metros y queremos encontrar el área $A(x)$ en función de $x$. 2. Fórmula para el perímetro: El perímetro $P$ de un rectángulo es $P = 2( ext{longitud} + ext{ancho})$. Aquí, $P = 360$ metros. 3. Expresamos el ancho en función de $x$: Sea $x$ la longitud lateral vertical, y llamemos $y$ al ancho horizontal. Entonces: $$360 = 2(x + y) \implies x + y = 180 \implies y = 180 - x$$ 4. Función del área: El área $A$ es: $$A(x) = x \times y = x(180 - x) = 180x - x^2$$ 5. Para encontrar el valor de $x$ que maximiza el área, derivamos $A(x)$: $$A'(x) = 180 - 2x$$ 6. Igualamos la derivada a cero para hallar extremos: $$180 - 2x = 0 \implies 2x = 180 \implies x = 90$$ 7. Verificamos que es un máximo con la segunda derivada: $$A''(x) = -2 < 0$$ Esto indica que $x=90$ da un máximo. 8. Calculamos el área máxima: $$A(90) = 180(90) - 90^2 = 16200 - 8100 = 8100$$ 9. Resumen: - (a) Función del área: $$A(x) = 180x - x^2$$ - (b) Longitud lateral que maximiza el área: $$x = 90$$ metros - (c) Área máxima: $$8100$$ metros cuadrados