1. **Асуудлыг тодорхойлох:** Өгөгдсөн тоонууд $a_1 = \log_{10} 4$, $a_2 = \log_{10} (9x + 5)$, $a_3 = \log_{10} (9x + 13)$ нь арифметик прогресс үүсгэж байна. 2. **Арифметик прогрессийн тодорхойлолт:** Арифметик прогрессийн гурван гишүүнд дараах тэгшитгэл биелнэ: $$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$$ Энэ нь дунд гишүүн нь эхний ба гурав дахь гишүүний дунджаар илэрхийлэгддэг гэсэн үг. 3. **Тэгшитгэлийг бичих:** $$\log_{10} (9x + 5) - \log_{10} 4 = \log_{10} (9x + 13) - \log_{10} (9x + 5)$$ 4. **Логарифмын ялгааны дүрмийг ашиглах:** $$\log_{10} \frac{9x + 5}{4} = \log_{10} \frac{9x + 13}{9x + 5}$$ 5. **Логарифмын тэгшитгэлийг тэгшитгэлд хувиргах:** Логарифмын үндсэн шинж чанараар, хэрвээ $\log_{10} A = \log_{10} B$ бол $A = B$ болно. Тэгэхээр: $$\frac{9x + 5}{4} = \frac{9x + 13}{9x + 5}$$ 6. **Хоёр талыг үржүүлэх:** $$ (9x + 5)^2 = 4(9x + 13) $$ 7. **Тэгшитгэлийг задлах:** $$ (9x + 5)^2 = 4(9x + 13) $$ $$ 81x^2 + 90x + 25 = 36x + 52 $$ 8. **Бүх гишүүдийг нэг талд шилжүүлэх:** $$ 81x^2 + 90x + 25 - 36x - 52 = 0 $$ $$ 81x^2 + 54x - 27 = 0 $$ 9. **Тэгшитгэлийг хялбаршуулах:** Бүх гишүүдийг 27-оор хуваая: $$ \cancel{27} (3x^2 + 2x - 1) = 0 \Rightarrow 3x^2 + 2x - 1 = 0 $$ 10. **Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх:** Формула ашиглана: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ энд $a=3$, $b=2$, $c=-1$. $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} $$ $$ x = \frac{-2 \pm 4}{6} $$ 11. **Хоёр шийд гарна:** $$ x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 $$ 12. **Шийдийг шалгах:** Логарифмын аргументүүд эерэг байх ёстой: - $9x + 5 > 0$ - $9x + 13 > 0$ $x = -1$ бол $9(-1) + 5 = -4 < 0$ болохоор үгүй. $x = \frac{1}{3}$ бол $9 \cdot \frac{1}{3} + 5 = 3 + 5 = 8 > 0$ ба $9 \cdot \frac{1}{3} + 13 = 3 + 13 = 16 > 0$ тул зөв. **Тэгэхээр хариу:** $$\boxed{x = \frac{1}{3}}$$