1. Задача 4.131: Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел, кратных 3, чтобы их сумма была больше 165? Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ где $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член. Последовательные натуральные числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию с $a_1=3$ и разностью $d=3$. Найдем $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 3(n-1) = 3n$. Тогда сумма: $$S_n = \frac{n}{2}(3 + 3n) = \frac{3n(n+1)}{2}$$ Нужно найти минимальное $n$, при котором $S_n > 165$: $$\frac{3n(n+1)}{2} > 165$$ Умножим обе части на 2: $$3n(n+1) > 330$$ Разделим на 3: $$n(n+1) > 110$$ Решаем неравенство: $$n^2 + n - 110 > 0$$ Найдем корни уравнения $n^2 + n - 110 = 0$: $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 440}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 \pm 21}{2}$$ Положительный корень: $$n = \frac{20}{2} = 10$$ Проверяем при $n=10$: $10 \cdot 11 = 110$ не больше 110, значит $n$ должно быть больше 10. При $n=11$: $11 \cdot 12 = 132 > 110$, условие выполнено. Ответ: нужно взять 11 чисел. --- 2. Задача 4.132: Найдите сумму 25 первых членов арифметической прогрессии, если $a_{10} = 17$, $d=3$. Формула $n$-го члена: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ Известно $a_{10} = a_1 + 9d = 17$, значит: $$a_1 = 17 - 9 \cdot 3 = 17 - 27 = -10$$ Сумма первых 25 членов: $$S_{25} = \frac{25}{2}(2a_1 + (25-1)d) = \frac{25}{2}(2 \cdot (-10) + 24 \cdot 3) = \frac{25}{2}(-20 + 72) = \frac{25}{2} \cdot 52 = 25 \cdot 26 = 650$$ Ответ: 650. --- 3. Задача 4.133: Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не больших 248. Последовательность: $4, 8, 12, ..., 248$. Найдем количество членов: $$n = \frac{248}{4} = 62$$ Сумма: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{62}{2}(4 + 248) = 31 \cdot 252 = 7812$$ Ответ: 7812. --- 4. Задача 4.134: Первое и последнее трехзначное число, кратное 9, и сумма всех таких чисел. Первое трехзначное число кратное 9: $$\lceil \frac{100}{9} \rceil = 12 \Rightarrow 12 \cdot 9 = 108$$ Последнее трехзначное число кратное 9: $$\lfloor \frac{999}{9} \rfloor = 111 \Rightarrow 111 \cdot 9 = 999$$ Количество членов: $$n = 111 - 12 + 1 = 100$$ Сумма: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{100}{2}(108 + 999) = 50 \cdot 1107 = 55350$$ Ответ: первое число 108, последнее 999, сумма 55350. --- 5. Задача 4.135: Формула натурального числа, которое при делении на 7 дает остаток 3, и сумма всех таких чисел не превосходящих 153. Общее число: $$a_n = 7k + 3, \quad k \geq 0$$ Найдем максимальное $k$ при $a_n \leq 153$: $$7k + 3 \leq 153 \Rightarrow 7k \leq 150 \Rightarrow k \leq \frac{150}{7} \approx 21.42$$ Максимальное целое $k=21$. Последнее число: $$a_{22} = 7 \cdot 21 + 3 = 147 + 3 = 150$$ Количество членов: $n=22$ (от $k=0$ до $k=21$). Сумма: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{22}{2}(3 + 150) = 11 \cdot 153 = 1683$$ Ответ: формула $a_n = 7k + 3$, сумма 1683. --- 6. Задача 4.136: В арифметической прогрессии $a_1 = -3$, $d=5$. Найдите $S_{21} - S_{20}$. Разность сумм: $$S_{21} - S_{20} = a_{21}$$ Найдем $a_{21}$: $$a_{21} = a_1 + 20d = -3 + 20 \cdot 5 = -3 + 100 = 97$$ Ответ: 97. --- 7. Задача 4.137: Первый член арифметической прогрессии $a_1 = -12$, разность $d=6$. Сколько нужно взять первых членов, чтобы сумма была 528? Формула суммы: $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = 528$$ Подставим: $$\frac{n}{2}(2 \cdot (-12) + (n-1)6) = 528$$ $$\frac{n}{2}(-24 + 6n - 6) = 528$$ $$\frac{n}{2}(6n - 30) = 528$$ $$n(3n - 15) = 528$$ $$3n^2 - 15n - 528 = 0$$ Разделим на 3: $$n^2 - 5n - 176 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$n = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 704}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{5 \pm 27}{2}$$ Положительный корень: $$n = \frac{32}{2} = 16$$ Ответ: нужно взять 16 членов. --- 8. Задача 4.138: Найдите сумму 36 первых членов арифметической прогрессии, если $d=2$, а первый член в 4 раза меньше второго. Из условия: $$a_2 = a_1 + d$$ $$a_1 = \frac{a_2}{4} = \frac{a_1 + d}{4}$$ Умножим на 4: $$4a_1 = a_1 + d$$ $$3a_1 = d$$ $$a_1 = \frac{d}{3} = \frac{2}{3}$$ Сумма 36 членов: $$S_{36} = \frac{36}{2}(2a_1 + (36-1)d) = 18(2 \cdot \frac{2}{3} + 35 \cdot 2) = 18(\frac{4}{3} + 70) = 18(\frac{4}{3} + \frac{210}{3}) = 18 \cdot \frac{214}{3} = 6 \cdot 214 = 1284$$ Ответ: 1284. --- 9. Задача 4.139*: Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если $S_6 = 39$ и $S_{14} = -77$. Формула суммы: $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$ Подставим для $n=6$: $$39 = 3(2a_1 + 5d)$$ $$2a_1 + 5d = 13$$ Для $n=14$: $$-77 = 7(2a_1 + 13d)$$ $$2a_1 + 13d = -11$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 5d) = -11 - 13$$ $$8d = -24$$ $$d = -3$$ Подставим $d$ в первое уравнение: $$2a_1 + 5(-3) = 13$$ $$2a_1 - 15 = 13$$ $$2a_1 = 28$$ $$a_1 = 14$$ Ответ: $a_1 = 14$, $d = -3$. --- 10. Задача 4.140*: Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по тринадцатый равна 55, $a_n = 5$. Найдите $n$. Сумма с $a_3$ по $a_{13}$: $$S = S_{13} - S_2 = 55$$ Формула суммы: $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$ Также $a_n = a_1 + (n-1)d = 5$. Подставим $n$ в $a_n$: $$a_1 + (n-1)d = 5$$ Выразим $a_1$: $$a_1 = 5 - (n-1)d$$ Подставим в сумму: $$S_{13} = \frac{13}{2}(2a_1 + 12d) = \frac{13}{2}(2(5 - (n-1)d) + 12d) = \frac{13}{2}(10 - 2(n-1)d + 12d) = \frac{13}{2}(10 + d(12 - 2n + 2)) = \frac{13}{2}(10 + d(14 - 2n))$$ $$S_2 = \frac{2}{2}(2a_1 + d) = 2a_1 + d = 2(5 - (n-1)d) + d = 10 - 2(n-1)d + d = 10 + d(1 - 2n + 2) = 10 + d(3 - 2n)$$ Тогда: $$S_{13} - S_2 = \frac{13}{2}(10 + d(14 - 2n)) - (10 + d(3 - 2n)) = 55$$ Раскроем скобки: $$\frac{13}{2} \cdot 10 + \frac{13}{2} d (14 - 2n) - 10 - d(3 - 2n) = 55$$ $$65 + \frac{13}{2} d (14 - 2n) - 10 - d(3 - 2n) = 55$$ $$55 + d \left( \frac{13}{2}(14 - 2n) - (3 - 2n) \right) = 55$$ Вычтем 55: $$d \left( \frac{13}{2}(14 - 2n) - (3 - 2n) \right) = 0$$ Рассчитаем выражение в скобках: $$\frac{13}{2}(14 - 2n) - (3 - 2n) = \frac{13}{2} \cdot 14 - \frac{13}{2} \cdot 2n - 3 + 2n = 91 - 13n - 3 + 2n = 88 - 11n$$ Тогда: $$d(88 - 11n) = 0$$ Два варианта: 1) $d=0$ — тогда прогрессия постоянна, $a_n=5$ для всех $n$, сумма с $a_3$ по $a_{13}$ равна $11 \cdot 5 = 55$, что подходит. 2) $88 - 11n = 0 \Rightarrow n = 8$ Проверим $a_n = 5$ при $n=8$: $$a_8 = a_1 + 7d = 5$$ Если $d \neq 0$, то $a_1 = 5 - 7d$. Ответ: $n=8$. --- Итого, решено 10 задач.