1. مسئله را بیان می‌کنیم: دو معادله داریم که به صورت دنباله حسابی هستند: $$a_1 + a_5 = 30$$ $$a_3 + a_7 = 120$$ 2. فرمول دنباله حسابی را یادآوری می‌کنیم: هر جمله دنباله حسابی به صورت $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ تعریف می‌شود که در آن $$a_1$$ جمله اول و $$d$$ قدر نسبت است. 3. معادلات را با استفاده از فرمول دنباله حسابی بازنویسی می‌کنیم: $$a_1 + a_5 = a_1 + [a_1 + 4d] = 2a_1 + 4d = 30$$ $$a_3 + a_7 = [a_1 + 2d] + [a_1 + 6d] = 2a_1 + 8d = 120$$ 4. دو معادله خطی داریم: $$2a_1 + 4d = 30$$ $$2a_1 + 8d = 120$$ 5. معادله اول را بر 2 تقسیم می‌کنیم: $$a_1 + 2d = 15$$ 6. معادله دوم را بر 2 تقسیم می‌کنیم: $$a_1 + 4d = 60$$ 7. معادلات را تفریق می‌کنیم: $$(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 60 - 15$$ $$2d = 45$$ $$d = 22.5$$ 8. مقدار $$d$$ را در یکی از معادلات قرار می‌دهیم تا $$a_1$$ را پیدا کنیم: $$a_1 + 2(22.5) = 15$$ $$a_1 + 45 = 15$$ $$a_1 = 15 - 45 = -30$$ نتیجه نهایی: $$a_1 = -30, \quad d = 22.5$$