1. **بيان المسألة:**
لدينا متتالية حسابية أساسها $r = -5$، ومعلومة أن $u_3^2 + u_7^2 = 650$. المطلوب:
- حساب الحد $u_0$ بشرط أن يكون موجبًا.
- إيجاد تعبير الحد العام $u_n$.
2. **صيغة المتتالية الحسابية:**
الحد العام للمتتالية الحسابية يُعطى بالعلاقة:
$$u_n = u_0 + n r$$
حيث $u_0$ هو الحد الأول و$r$ هو الفرق المشترك.
3. **استخدام المعطيات:**
نعوض في المعادلة $u_3^2 + u_7^2 = 650$:
$$u_3 = u_0 + 3(-5) = u_0 - 15$$
$$u_7 = u_0 + 7(-5) = u_0 - 35$$
4. **كتابة المعادلة:**
$$ (u_0 - 15)^2 + (u_0 - 35)^2 = 650 $$
5. **تبسيط المعادلة:**
$$ (u_0^2 - 30 u_0 + 225) + (u_0^2 - 70 u_0 + 1225) = 650 $$
$$ 2 u_0^2 - 100 u_0 + 1450 = 650 $$
$$ 2 u_0^2 - 100 u_0 + 800 = 0 $$
6. **تبسيط أكثر:**
$$ u_0^2 - 50 u_0 + 400 = 0 $$
7. **حل المعادلة التربيعية:**
باستخدام صيغة الحل:
$$ u_0 = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \times 1 \times 400}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1600}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{900}}{2} $$
$$ u_0 = \frac{50 \pm 30}{2} $$
8. **القيم المحتملة لـ $u_0$:**
- $$ u_0 = \frac{50 + 30}{2} = 40 $$
- $$ u_0 = \frac{50 - 30}{2} = 10 $$
9. **اختيار القيمة الموجبة:**
كلتا القيمتين موجبتان، لكن نأخذ القيمة الأكبر $u_0 = 40$ لأن المطلوب الحد موجب.
10. **إيجاد الحد العام:**
$$ u_n = 40 - 5 n $$
11. **حساب مجموع المتتالية $S_n$:**
مجموع أول $n+1$ حدود من متتالية حسابية:
$$ S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} $$
12. **تعويض القيم:**
$$ S_n = \frac{(n+1)(40 + (40 - 5 n))}{2} = \frac{(n+1)(80 - 5 n)}{2} $$
13. **إيجاد قيم $n$ بحيث $S_n \geq 945$:**
$$ \frac{(n+1)(80 - 5 n)}{2} \geq 945 $$
$$ (n+1)(80 - 5 n) \geq 1890 $$
14. **توسيع المعادلة:**
$$ 80 n + 80 - 5 n^2 - 5 n \geq 1890 $$
$$ -5 n^2 + 75 n + 80 \geq 1890 $$
$$ -5 n^2 + 75 n - 1810 \geq 0 $$
15. **قسمة على -5 مع تغيير اتجاه المتباينة:**
$$ n^2 - 15 n + 362 \leq 0 $$
16. **حساب المميز:**
$$ \Delta = (-15)^2 - 4 \times 1 \times 362 = 225 - 1448 = -1223 < 0 $$
17. **النتيجة:**
بما أن المميز سالب، لا توجد حلول حقيقية للمتباينة، إذًا لا يوجد $n$ طبيعي يحقق $S_n \geq 945$.
18. **لكن حسب المعطى $3 \leq n \leq 12$، نحسب $S_n$ لكل $n$ في هذا المجال:**
- $n=3$: $S_3 = \frac{4(80 - 15)}{2} = \frac{4 \times 65}{2} = 130$
- $n=12$: $S_{12} = \frac{13(80 - 60)}{2} = \frac{13 \times 20}{2} = 130$
19. **الاستنتاج:**
المجموع لا يصل إلى 945 ضمن المجال المعطى.
**النتائج النهائية:**
- $u_0 = 40$
- $u_n = 40 - 5 n$
- مجموع $S_n = \frac{(n+1)(80 - 5 n)}{2}$
- لا يوجد $n$ طبيعي بين 3 و12 بحيث $S_n \geq 945$.
Arithmetic Sequence A4878D
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.