1. **Problem statement:** Zeigen Sie, dass $$\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - n\mu^2$$ wobei $$\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$ das arithmetische Mittel ist. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Varianzformel lautet: $$\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n \mu^2$$ Da $$\mu$$ konstant ist, gilt $$\sum_{i=1}^n \mu^2 = n\mu^2$$. 3. **Zwischenschritte:** \begin{align*} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 &= \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\mu + \mu^2) \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n \mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu \sum_{i=1}^n x_i + n\mu^2 \end{align*} 4. **Einsetzen von $$\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$:** $$\sum_{i=1}^n x_i = n\mu$$ 5. **Weiter vereinfachen:** \begin{align*} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu (n\mu) + n\mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2n\mu^2 + n\mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\mu^2 \end{align*} 6. **Ergebnis:** Damit ist gezeigt, dass $$\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - n\mu^2$$