1. **Énoncé du problème :** Un artisan fabrique des objets avec un coût de production modélisé par la fonction $$C(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}05x^2 + 91x + 225$$ sur l'intervalle $$[0;70]$$. Chaque objet est vendu 80 euros. 2. **Coûts fixes :** Les coûts fixes correspondent au coût lorsque $$x=0$$ (aucune production). $$C(0) = 0{,}01 \times 0^3 - 1{,}05 \times 0^2 + 91 \times 0 + 225 = 225$$ Donc, les coûts fixes sont de 225 euros. 3. **Coût de production de 25 objets :** Calculons $$C(25)$$ : $$C(25) = 0{,}01 \times 25^3 - 1{,}05 \times 25^2 + 91 \times 25 + 225$$ $$= 0{,}01 \times 15625 - 1{,}05 \times 625 + 2275 + 225$$ $$= 156{,}25 - 656{,}25 + 2275 + 225$$ $$= (156{,}25 - 656{,}25) + (2275 + 225) = -500 + 2500 = 2000$$ Le coût de production de 25 objets est donc 2000 euros. 4. **Croissance de la fonction $$C$$ sur $$[0;70]$$ :** Calculons la dérivée $$C'(x)$$ : $$C'(x) = 3 \times 0{,}01 x^2 - 2 \times 1{,}05 x + 91 = 0{,}03 x^2 - 2{,}1 x + 91$$ Étudions le signe de $$C'(x)$$ sur $$[0;70]$$. Calculons le discriminant $$\Delta$$ : $$\Delta = (-2{,}1)^2 - 4 \times 0{,}03 \times 91 = 4{,}41 - 10{,}92 = -6{,}51 < 0$$ La dérivée n'a pas de racine réelle, donc $$C'(x)$$ ne change pas de signe. Comme $$C'(0) = 91 > 0$$, $$C'(x) > 0$$ pour tout $$x \in [0;70]$$. Donc, $$C$$ est strictement croissante sur $$[0;70]$$. 5. **Expression de la fonction bénéfice $$B(x)$$ :** Le bénéfice est la différence entre le revenu et le coût : $$B(x) = \text{Revenu} - \text{Coût} = 80x - C(x)$$ Donc : $$B(x) = 80x - (0{,}01x^3 - 1{,}05x^2 + 91x + 225)$$ $$= 80x - 0{,}01x^3 + 1{,}05x^2 - 91x - 225$$ $$= -0{,}01x^3 + 1{,}05x^2 - 11x - 225$$ 6. **Vérification que $$B(25) = 0$$ :** Calculons $$B(25)$$ : $$B(25) = -0{,}01 \times 25^3 + 1{,}05 \times 25^2 - 11 \times 25 - 225$$ $$= -0{,}01 \times 15625 + 1{,}05 \times 625 - 275 - 225$$ $$= -156{,}25 + 656{,}25 - 275 - 225$$ $$= ( -156{,}25 + 656{,}25 ) - 500 = 500 - 500 = 0$$ Donc, $$B(25) = 0$$ est vérifié. 7. **Étude des variations de $$B$$ sur $$[0;70]$$ :** Calculons la dérivée $$B'(x)$$ : $$B'(x) = -3 \times 0{,}01 x^2 + 2 \times 1{,}05 x - 11 = -0{,}03 x^2 + 2{,}1 x - 11$$ Calculons le discriminant $$\Delta$$ : $$\Delta = (2{,}1)^2 - 4 \times (-0{,}03) \times (-11) = 4{,}41 - 1{,}32 = 3{,}09 > 0$$ Les racines sont : $$x_1 = \frac{-2{,}1 - \sqrt{3{,}09}}{2 \times (-0{,}03)} = \frac{-2{,}1 - 1{,}757}{-0{,}06} = \frac{-3{,}857}{-0{,}06} = 64{,}28$$ $$x_2 = \frac{-2{,}1 + 1{,}757}{-0{,}06} = \frac{-0{,}343}{-0{,}06} = 5{,}72$$ 8. **Variations de $$B'$$ :** Puisque le coefficient de $$x^2$$ dans $$B'(x)$$ est négatif, $$B'(x)$$ est une parabole ouverte vers le bas. Donc, $$B'(x) > 0$$ entre $$x_2 = 5{,}72$$ et $$x_1 = 64{,}28$$, et $$B'(x) < 0$$ en dehors. 9. **Interprétation :** - $$B$$ est croissante sur $$[5{,}72;64{,}28]$$ - $$B$$ est décroissante sur $$[0;5{,}72]$$ et $$[64{,}28;70]$$ 10. **Nombre d'objets pour gagner de l'argent :** On cherche $$x$$ tel que $$B(x) > 0$$. On sait que $$B(0) = -225 < 0$$ et $$B(25) = 0$$. La fonction $$B$$ s'annule en $$x=25$$ et aussi en un autre point (à calculer). Calculons les racines de $$B(x) = 0$$ : $$-0{,}01x^3 + 1{,}05x^2 - 11x - 225 = 0$$ On sait que $$x=25$$ est une racine. Divisons par $$x-25$$ : $$B(x) = (x-25)(-0{,}01x^2 + 0x + 9)$$ Résolvons $$-0{,}01x^2 + 9 = 0$$ : $$-0{,}01x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{0{,}01} = 900 \Rightarrow x = 30$$ ou $$x = -30$$ (hors intervalle). Donc, racines de $$B$$ sur $$[0;70]$$ sont $$x=25$$ et $$x=30$$. Entre ces racines, le signe de $$B$$ change. Testons $$B(27)$$ : $$B(27) = -0{,}01 \times 27^3 + 1{,}05 \times 27^2 - 11 \times 27 - 225$$ $$= -0{,}01 \times 19683 + 1{,}05 \times 729 - 297 - 225$$ $$= -196{,}83 + 765{,}45 - 297 - 225 = 46{,}62 > 0$$ Donc, $$B(x) > 0$$ entre $$25$$ et $$30$$. 11. **Nombre d'objets pour bénéfice maximal :** Le maximum de $$B$$ est atteint en $$x = 64{,}28$$ (maximum local). **Résumé final :** - Coûts fixes : 225 euros - Coût pour 25 objets : 2000 euros - $$C$$ est croissante sur $$[0;70]$$ - $$B(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}05x^2 - 11x - 225$$ - $$B(25) = 0$$ - L'artisan commence à gagner de l'argent entre 25 et 30 objets - Le bénéfice est maximal pour environ 64 objets produits et vendus.