1. **Planteamiento del problema:** Calcular las asíntotas verticales y horizontales de la función $$f(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 - 3x - 2}{2x^3 - 7x^2 + 2x + 3}$$, clasificar las discontinuidades y redefinir la función para que sea continua si es posible. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero y el numerador no es cero. - Asíntotas horizontales se determinan analizando el límite cuando $$x \to \pm \infty$$. - Discontinuidades removibles ocurren si el factor que anula el denominador también anula el numerador. 3. **Encontrar las raíces del denominador para asíntotas verticales:** Denominador: $$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$$ Probamos raíces racionales posibles: $$\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$$. Probamos $$x=1$$: $$2(1)^3 -7(1)^2 + 2(1) + 3 = 2 -7 + 2 + 3 = 0$$ Entonces, $$x=1$$ es raíz. Dividimos el polinomio por $$x-1$$: $$\frac{2x^3 -7x^2 + 2x + 3}{x-1} = 2x^2 - 5x - 3$$ Factorizamos $$2x^2 - 5x - 3$$: $$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$$ Por lo tanto, las raíces del denominador son $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2}$$ y $$x=3$$. 4. **Verificar si el numerador se anula en esas raíces para clasificar discontinuidades:** Numerador: $$2x^3 + 3x^2 - 3x - 2$$ Evaluamos en $$x=1$$: $$2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) - 2 = 2 + 3 - 3 - 2 = 0$$ Evaluamos en $$x=-\frac{1}{2}$$: $$2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = 2\left(-\frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$ Evaluamos en $$x=3$$: $$2(3)^3 + 3(3)^2 - 3(3) - 2 = 54 + 27 - 9 - 2 = 70 \neq 0$$ 5. **Clasificación de discontinuidades:** - En $$x=1$$ y $$x=-\frac{1}{2}$$, tanto numerador como denominador se anulan, por lo que son discontinuidades removibles. - En $$x=3$$, solo el denominador se anula, por lo que hay una asíntota vertical. 6. **Redefinir la función para que sea continua:** Factorizamos numerador y denominador para cancelar factores comunes. Numerador: Probamos dividir por $$x-1$$: División sintética o polinómica da cociente $$2x^2 + 5x + 2$$. Factorizamos $$2x^2 + 5x + 2$$: $$2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)$$ Entonces: $$2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 = (x - 1)(2x + 1)(x + 2)$$ Denominador: $$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = (x - 1)(2x + 1)(x - 3)$$ Cancelamos factores comunes: $$f(x) = \frac{(x - 1)(2x + 1)(x + 2)}{(x - 1)(2x + 1)(x - 3)} = \frac{\cancel{(x - 1)}\ \cancel{(2x + 1)}(x + 2)}{\cancel{(x - 1)}\ \cancel{(2x + 1)}(x - 3)} = \frac{x + 2}{x - 3}$$ 7. **Asíntotas verticales y horizontales de la función simplificada:** - Asíntota vertical: $$x = 3$$ - Asíntota horizontal: Analizamos $$\lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{x - 3} = 1$$ Por lo tanto, la asíntota horizontal es $$y = 1$$. 8. **Redefinición para continuidad:** Definimos $$f(x) = \frac{x + 2}{x - 3}$$ para $$x \neq 1, -\frac{1}{2}$$ y extendemos $$f(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$$, $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \lim_{x \to -\frac{1}{2}} \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{7}{2}} = -\frac{3}{7}$$ para eliminar discontinuidades removibles. **Respuesta final:** - Asíntotas verticales: $$x = 3$$ - Asíntotas horizontales: $$y = 1$$ - Discontinuidades removibles en $$x=1$$ y $$x=-\frac{1}{2}$$ - Función redefinida para continuidad: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x - 3}, & x \neq 1, -\frac{1}{2}, 3 \\ -\frac{3}{2}, & x = 1 \\ -\frac{3}{7}, & x = -\frac{1}{2} \end{cases}$$