1. Problema: Calcolare gli asintoti delle funzioni date. 2. Formula e regole importanti: - Asintoti verticali si trovano risolvendo il denominatore uguale a zero. - Asintoti orizzontali o obliqui si trovano analizzando il limite della funzione per $x \to \pm \infty$. - Se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore, l'asintoto orizzontale è il rapporto dei coefficienti principali. - Se il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore di 1, esiste un asintoto obliquo dato dalla divisione polinomiale. 3. Funzione ①: $y=\frac{2x^2+3x}{x^2+9 - x}$ - Denominatore: $x^2 - x + 9=0$ non ha soluzioni reali (discriminante $\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot9=1-36=-35<0$), quindi nessun asintoto verticale. - Grado numeratore = 2, grado denominatore = 2, quindi asintoto orizzontale: $y=\frac{2}{1}=2$. 4. Funzione ②: $y=\frac{3x^2+2x+4}{x+1}$ - Asintoto verticale: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. - Grado numeratore (2) > grado denominatore (1), quindi asintoto obliquo. - Divisione polinomiale: $\frac{3x^2+2x+4}{x+1}=3x -1 + \frac{5}{x+1}$. - Asintoto obliquo: $y=3x -1$. 5. Funzione ③: $y=\frac{x^2+7x+10}{x^2+3x+2}$ - Denominatore fattorizzato: $(x+1)(x+2)$, asintoti verticali in $x=-1$ e $x=-2$. - Grado numeratore = grado denominatore = 2, asintoto orizzontale: $y=\frac{1}{1}=1$. 6. Asintoto obliquo e angoli: - L'asintoto obliquo della funzione ② è $y=3x -1$. - L'angolo $\theta$ con l'asse $x$ è dato da $\tan(\theta)=3$. - Calcolo angolo: $\theta=\arctan(3) \approx 71.57^\circ$. Risposte finali: ① Nessun asintoto verticale, asintoto orizzontale $y=2$. ② Asintoto verticale $x=-1$, asintoto obliquo $y=3x -1$ con angolo $\approx 71.57^\circ$. ③ Asintoti verticali $x=-1$, $x=-2$, asintoto orizzontale $y=1$.