1. Definiamo gli asintoti di una funzione razionale $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$. 2. Gli asintoti verticali si trovano risolvendo $Q(x)=0$ dove la funzione non è definita. 3. Gli asintoti orizzontali o obliqui si trovano analizzando il limite di $y$ per $x\to \pm \infty$. 4. Se il grado di $P(x)$ è minore di quello di $Q(x)$, l'asintoto orizzontale è $y=0$. 5. Se i gradi sono uguali, l'asintoto orizzontale è $y=\frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono i coefficienti principali di $P$ e $Q$. 6. Se il grado di $P(x)$ è maggiore di quello di $Q(x)$ di 1, esiste un asintoto obliquo che si trova con la divisione polinomiale. (1) $y=\frac{2x^2+3x}{x^2+9 - x} = \frac{2x^2+3x}{x^2 - x + 9}$ - Asintoti verticali: risolviamo $x^2 - x + 9=0$. - Il discriminante è $\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot9 = 1 - 36 = -35 < 0$, quindi nessun asintoto verticale reale. - Asintoto orizzontale: i gradi di numeratore e denominatore sono entrambi 2. - Quindi asintoto orizzontale è $y=\frac{2}{1} = 2$. (2) $y=\frac{3x^2 + 12x + 4}{x + 1}$ - Asintoti verticali: risolviamo $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. - Asintoto verticale in $x=-1$. - Grado numeratore 2, denominatore 1, differenza 1, quindi asintoto obliquo. - Facciamo la divisione polinomiale: $$\frac{3x^2 + 12x + 4}{x + 1} = 3x + 9 + \frac{-5}{x+1}$$ - Asintoto obliquo: $y=3x + 9$. (3) $y=\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 3x + 2}$ - Asintoti verticali: risolviamo $x^2 + 3x + 2=0$. - Fattorizziamo: $(x+1)(x+2)=0 \Rightarrow x=-1, x=-2$. - Asintoti verticali in $x=-1$ e $x=-2$. - Gradi numeratore e denominatore entrambi 2, quindi asintoto orizzontale: - Coefficienti principali entrambi 1, quindi $y=1$. (4) Asintoto obliquo e angoli: - L'asintoto obliquo è la retta trovata nella divisione polinomiale, ad esempio nel (2) $y=3x+9$. - L'angolo $\theta$ che questa retta forma con l'asse $x$ è dato da $\theta = \arctan(m)$ dove $m$ è il coefficiente angolare. - Per $y=3x+9$, $m=3$, quindi $\theta = \arctan(3)$. - Calcolando $\theta$ in gradi: $\theta \approx 71.57^\circ$. Riassumendo: (1) Nessun asintoto verticale, asintoto orizzontale $y=2$. (2) Asintoto verticale $x=-1$, asintoto obliquo $y=3x+9$, angolo $\approx 71.57^\circ$. (3) Asintoti verticali $x=-1, x=-2$, asintoto orizzontale $y=1$.