1. Planteamos el problema: Dada la función $A(x) = x^2 - 5x + 6$, debemos encontrar los valores de $x$ para los cuales el número de asistentes está entre 0 y 10 unidades, es decir, $0 < A(x) < 10$. 2. Primero, recordemos que para resolver desigualdades cuadráticas, es útil factorizar la expresión y analizar los intervalos donde la función cumple la condición. 3. Factorizamos $A(x)$: $$A(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ 4. Para encontrar los valores de $x$ donde $0 < A(x) < 10$, resolvemos las dos desigualdades por separado: a) $A(x) > 0$: $$ (x - 2)(x - 3) > 0 $$ Esto ocurre cuando ambos factores son positivos o ambos son negativos. - Ambos positivos: $x > 3$ - Ambos negativos: $x < 2$ Por lo tanto, $A(x) > 0$ para $x < 2$ o $x > 3$. b) $A(x) < 10$: $$ x^2 - 5x + 6 < 10 $$ $$ x^2 - 5x + 6 - 10 < 0 $$ $$ x^2 - 5x - 4 < 0 $$ 5. Resolvemos la desigualdad cuadrática $x^2 - 5x - 4 < 0$: Calculamos las raíces de la ecuación $x^2 - 5x - 4 = 0$ usando la fórmula cuadrática: $$ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} $$ Aproximadamente: $$ x_1 = \frac{5 - 6.4}{2} = -0.7, \quad x_2 = \frac{5 + 6.4}{2} = 5.7 $$ Como el coeficiente principal es positivo, la parábola abre hacia arriba, por lo que la desigualdad $x^2 - 5x - 4 < 0$ se cumple entre las raíces: $$ -0.7 < x < 5.7 $$ 6. Combinamos ambas condiciones para $0 < A(x) < 10$: - $A(x) > 0$ para $x < 2$ o $x > 3$ - $A(x) < 10$ para $-0.7 < x < 5.7$ La intersección es: - Para $x < 2$: intersecta con $-0.7 < x < 2$ es $-0.7 < x < 2$ - Para $x > 3$: intersecta con $3 < x < 5.7$ es $3 < x < 5.7$ Por lo tanto, los valores de $x$ que satisfacen $0 < A(x) < 10$ son: $$ -0.7 < x < 2 \quad \text{y} \quad 3 < x < 5.7 $$ 7. Respuesta parte a): $$ \boxed{-0.7 < x < 2 \quad \text{y} \quad 3 < x < 5.7} $$ 8. Para la parte b), determinar los valores de $x$ para los cuales $A(x)$ es positivo: Ya calculamos que $A(x) = (x-2)(x-3)$ es positivo cuando ambos factores son positivos o ambos negativos: $$ x < 2 \quad \text{o} \quad x > 3 $$ 9. Respuesta parte b): $$ \boxed{x < 2 \quad \text{o} \quad x > 3} $$